Russian Mathematics Education

y = −0.5x + 4 and passes through the point A (−6, 5);

(b) perpendicular to the line y = −1.5x + 3 and passes through

the point A (9, 2).

• Prove that the three points (−2, −14), (2, 6), and (3, 11) lie on

the same line. (Dorofeev and Suvorova, 2009a, pp. 188–189)

• The parabola y = ax

2

+ bx + c passes through the points

M (0, 1), K (

−1, 0), and L (1, 4). Determine whether it passes

through the point A (

−4, −5).

• The parabola y = ax

2

+ bx + c passes through the points

M (0,

−2), K (6, 0), and L (3, −4). Find the coordinates of

its vertex. (2009b, p. 161)

Inequalities. The quantity of material connected with inequalities

in basic school is relatively small. All of the textbooks go over the

properties of numerical inequalities and the algorithm for solving linear

inequalities, which is based on these properties. Systems of linear

inequalities are examined with the help of schematic representations

of the solution sets of these inequalities on the number line. The prop-

erties of numerical inequalities are also used to solve problems involving

proofs (for example, to prove such propositions as “the arithmetic mean

of two numbers is not less than their geometric mean” or “the half-

perimeter of a triangle is greater than any of its sides”) and problems

on comparing numbers (for example, compare

√

99

+

√

101

and 20).

In addition to solving linear inequalities and systems of linear

inequalities, in connection with studying quadratic functions, students

solve inequalities of the form ax

2

+ bx + c > 0, where a = 0. The

essence of the technique used to solve such inequalities lies in the fact

that the answer is simply read off a schematically represented graph.

No special rules are formulated. Inequalities are also used for solving

problems from other sections of the course. Consider the following

examples:

1. Find the domain of the expression

√

4

−2x

x+2

.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

161

2. Find all integer values of m for which the equation

4mx

2

+ 5x + m = 0

has two roots.

3. Find the sum of all positive terms of an arithmetic progression that

begins in the following way: 6.3; 5.8; 5.3; … .

Word problems. Considerable attention is traditionally devoted in

Russian schools to using the algebraic method to solve word problems.

These problems are systematically introduced into the course as the

apparatus of equations develops. They are seen as an effective didactic

instrument for achieving a number of goals. The main ones among

these are:

• Developing the logical thinking of adolescents;

• Demonstrating the possible uses of the algebraic apparatus that

is being formed;

• Acquainting students of ages 12–15 with the idea of mathematical

modeling on a level that is accessible to them;

• Enriching the educational material with themes that are close,

understandable, and interesting to the students, which help to

motivate the students.

Although solving word problems, as has already been indicated,

figures extensively in the course, this form of activity turns out to be

quite difficult and time-consuming for most students. The authors of

the modern generation of textbooks, Dorofeev et al., have revised the

approach to the content and organization of systems of exercises. They

single out as a special form of activity the formulation of equations

based on the conditions given in a problem; students acquire experience

in formulating different equations on the basis of the same conditions

and in determining which of the formulated equations is more conve-

nient for obtaining an answer to the question posed in the problem.

It is important for the students to recognize the necessity of

interpreting the numbers obtained by solving an equation or system of

equations. Consider the following examples of problems on “Quadratic

Equations” for a class working with the textbook of Dorofeev,

Suvorova et al. (2009a, pp. 120–122).

The students are given three problems:

1. A baking sheet must be made out of a rectangular sheet of tin by

cutting out squares in the corners and turning up the edges. The

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

162