Russian Mathematics Education

On Algebra Education in Russian Schools

153

following type:

• Determine the discriminant of the equation x

2

+ 7x − 1 = 0 and

answer the following questions:

(a) Does the equation have roots? (b) If it does, then how

many? (c) Are the roots rational or irrational numbers? (Dorofeev,

Suvorova et al., 2009a, p. 118)

• Find a value of c for which the equation 5x

2

−2x+c = 0 has roots,

and find a value of c for which it does not have roots. (p. 118)

• Given the equation 2x

2

− 7x + 3 = 0, write a new equation,

switching the places of coefficients a and c in the given equation.

Solve both equations. How are their roots related? (p. 119)

Students examine techniques for solving specific types of quadratic

equations, namely incomplete quadratic equations (equations of the

forms ax

2

+ bx = 0 and ax

2

+ c = 0). The study of quadratic equations

concludes with an examination of formulas that connect the roots of a

quadratic equation with its coefficients (note that in contrast to many

foreign textbooks, in Russia this topic is traditionally studied — with

reason — after the formulas for solving quadratic equations have been

derived). The students use these formulas to find roots mentally and

to check whether the solutions to equations are correct. Note, too,

that this material is employed in all textbooks as a training ground for

solving problems of the most varied levels of difficulty. Problems in

these topics, which are given to students in all textbooks as well as in

the classroom, no longer serve to develop their skills, but to develop

their thinking, to organize interesting mathematical activities, and to

expand the arsenal of techniques that are available to the students.

These problems cover a broad range of levels of difficulty for different

categories of students. Consider the following examples of problems

solved by students in class [some of them are taken from the textbook

by Dorofeev, Suvorova et al. (2009a, p. 134)]:

• Without solving the equation x

2

+7x−1 = 0, determine whether

it has roots, and if it does, what their signs are.

• Find all integer values of p for which the equation x

2

+px+15 = 0

has integer roots.

• Knowing that the quadratic equation x

2

+px+q = 0 has roots x

1

and x

2

, formulate a quadratic equation that has roots 3x

1

and 3x

2

.

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

154

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

• Prove that if the sum of the coefficients of the quadratic equation

ax

2

+ bx + c = 0 is equal to 0, then one of the roots of this

equation is the number 1. Mentally find the roots of the equation

100x

2

− 150x + 50 = 0.

Later, when they are close to graduating from basic school, students

may solve third- and fourth-degree equations, such as

2x

3

− x

2

− 8x + 4 = 0 and 2x

4

+ 9x

2

+ 4 = 0.

The main purpose of this material in the general education course is to

broaden the students’ horizons. The historical context that naturally

arises in the study of such equations is present in all textbooks in one

form or another. For example, in the textbook of Dorofeev, Suvorova

et al. (2009b), the presentation is organized as follows:

After a short survey of what the students already know about tech-

niques for solving linear and quadratic equations, they are informed

that they will be able to solve higher-degree equations only in certain

specific cases, and that already for fifth-degree equations there is no

general formula at all. At the beginning of the 19th century, the

Norwegian mathematician Niels Henrik Abel proved that it is impos-

sible to obtain the roots of even such a comparatively simple equation

as x

5

+ x − 1 = 0 by using arithmetic operations and finding roots.

For third- and fourth-degree equations, such formulas do exist.

The method for solving third-degree equations was discovered by

Italian mathematicians in the 16th century. But the formulas for

solving third- and fourth-degree equations are so complicated that

they are practically never used. Also, in order to use them, one

must employ new numbers, so-called complex numbers, which were

invented for this purpose. (Dorofeev, Suvorova et al., 2009b, p. 131)

Subsequently, the students are introduced to two techniques for

solving third- and by fourth-degree equations by factoring and by

introducing a new variable.

In studying equations, students also solve equations that contain a

variable in the denominator of a fraction, such as

2x