Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

manner, factor out common factors in numeric sums and products, and

so on. Two examples:

Example 1. Students are asked to find the value of the product

4

· 7 · 11 · 25 (Dorofeev, Sharygin et al., 2007a, p. 84).

They reason in the following manner: the product of 4 and 25

equals 100, and multiplying by 100 is easy, and therefore let us group

the factors in the following way:

4

· 7 · 11 · 25 = (4 · 25) · (7 · 11) = 100 · 77 = 7700.

Example 2. Students are asked to find the value of the fraction

1

3

−

1

5

2

3

−

1

2

(Dorofeev, Sharygin et al., 2007b, p. 11).

To find the value of this expression, the students can perform three

operations: find the value of the fraction’s numerator, find the value of

the fraction’s denominator, and divide the former by the latter. But they

can also employ a different approach: using the “basic property of frac-

tions” (the fact that multiplying the numerator and the denominator of

a fraction by the same number produces a fraction that is equal to the

original fraction), they can manipulate the given “multistory” fraction

and obtain the answer much more easily and quickly. The students’

reasoning is approximately as follows: let us multiply the numerator

and the denominator of the fraction by a “convenient” number to get

rid of the fractions in the numerator and the denominator. In the given

case, this number can be, for example, 30:

1

3

−

1

5

2

3

−

1

2

=

30

·



1

3

−

1

5



30

·



2

3

−

1

2

 =

10

− 6

20

− 15

=

4

5

.

Of course, this solution is presented as an alternative to the first.

Although it is demonstrated to all students, the teacher emphasizes that

it makes sense to proceed in this way if the intermediate computations

can be performed mentally.

Performing transformations of this kind constitutes a good, sub-

stantive form of practice, which prepares the students for learning to

carry out transformations of literal expressions, which, as has already

been noted, are a topic of study at the subsequent stage (grades 7–9) —

as is solving equations by using transformations. At this stage, however,

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

149

the aim of this activity is not so much the development of a skill as the

simple process of carrying out such transformations.

4.1.3

Algebra for students of ages 12–15 (grades 7–9)

In all textbooks for this stage, including those examined in this

chapter, the quantity of algebraic material is practically identical. It

is determined by the contents of the corresponding section of the

Standard, cited above.

Literal numeration. The presentation of algebraic material at this

stage most often begins with a section that can be labeled “Introduction

to Algebra.” Its content depends substantially on which textbook was

used at the previous stage and how much algebraic preparation students

received during that period. If the textbooks belonged to the series

by Makarychev et al., then they begin with systematization of the

knowledge acquired during the preceding stage — students again go

over the basic skills connected with combining like terms, removing

parentheses, and simplifying products; they are also introduced to such

concepts as identity and identity transformations of expressions. Here,

too, students again review material connected with solving equations,

are introduced to the concept of equivalent equations, and investigate

how many solutions an equation of the type ax + b = 0 has, depending

on the values of the coefficients a and b.

The textbooks by Dorofeev et al. begin by listing the properties of

arithmetic operations (in literal notation), which are already known

to the students, after which the students use numerical examples

to write down literal equalities that express certain computational

techniques, such as the technique of subtracting a sum from a number: