Russian Mathematics Education

x−15

y−5

equal to:

(a)

√

(x − 15)(y − 5); (b) −

√

(x − 15)(y − 5); (c)

√

(15 − x)(y − 5)?

Considerable emphasis is placed on the understanding of the

connection between this new concept and other areas of mathematics.

Thus, for example, for practical purposes, a student has no need to

think about the fact that the root of a positive integer cannot be

anything other than a positive integer or irrational number, but the

future mathematician must understand this.

Students may recall how, in basic school, they proved by contradic-

tion that certain roots are irrational: for example, that the number

√

2

is irrational. Now they possess an instrument that makes it possible to

prove at once that all numbers of this form are irrational (the textbook

discusses how the rational roots of the polynomial f(x) = x

n

− k can

only be divisors of the number k, i.e. integers). Therefore, a problem

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

177

that requires students to prove this fact is included among the problems

in this section.

Problems involving transformations of expressions with radicals by

means of multiplying them by a “conjugate factor” are traditionally

widespread (Kolmogorov et al., 2007, p. 206). The advanced problem

book offers a more substantive problem:

Is the following function monotonic? y =

√

x + 1 −

√

x − 2.

(Dorofeev, Sedova, and Troitskaya, 2010, p. 15)

This problem is solved precisely by multiplying by “conjugate

factors”: after the corresponding transformation, we obtain another

expression for the same function, y =

3

√

x−2+

√

x+1

, from which it can

be seen that this function is a decreasing function (the numerator of

the fraction is a positive constant, while the denominator is increasing).

Of course, by including one problem within another in this way, we

always obtain a problem that allows for several solutions; and indeed

the student has the right to dispense with multiplying by a “conjugate

factor,” which, however, does not seem worrisome. The problem

book also contains problems involving proofs of formulas with double

radicals:

(a)

a +

√

b =

a+

√

a

2

−b

2

+

a−

√

a

2

−b

2

;

(b)

a −

√

b =

a+

√

a

2

−b

2

−

a−

√

a

2

−b

2

.

This problem constitutes both an exercise in transforming expres-

sions with radicals and a certain addition to students’ algebraic arsenal:

of course, they do not need to memorize this formula, but it is

important for understanding the fact that sometimes (if the number

a

2

− b > 0 is a perfect square and a > 0) one can eliminate a

complicated radical by turning it into the sum of two simple radicals;

this technique is sometimes used to solve biquadratic equations.

As an example of an even more difficult assignment that involves a

proof, consider the following problem:

Prove that

5

3

<

1

√

26

+

1

√

27

+ · · · +

1

√

35

< 2. (Dorofeev, Sedova, and

Troitskaya, 2010, p. 19)

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch04

178