Russian Mathematics Education

5

Elements of Analysis in Russian Schools

Mikhael Jackubson

Herzen State Pedagogical University of Russia,

St. Petersburg, Russia

1

Introduction

In this chapter, the term “elements of analysis” will be used to refer

not only to such topics as limits, derivatives, and integrals, which have

traditionally belonged to the “course in higher mathematics” in Russia,

but also to a much broader range of topics connected with the concept

of functions.

The concept of functions is introduced explicitly in seventh or

eighth grade (depending on the program and textbook). In basic

school (up to ninth grade), students study in detail such crucial

functions as the linear function, the quadratic function, and inverse

proportionality

y =

k

x



. Using the example of these functions, the

general characteristics of functions are introduced and studied; these

include domain and range, monotonicity, and whether the function

is even or odd. Naturally, the whole investigation is conducted using

elementary means. Along with functions defined by formulas, students

consider functions given in the form of a graph or obtained by analyzing

various real-world processes. The basic school course in algebra may

be said to be grouped around three basic concepts: transformations,

equations and inequalities, and functions.

In grades 10 and 11 in secondary school, the continuation of

the course in algebra bears the official title “Algebra and Elementary

191

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

192

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

Calculus.” Two developments take place here: the class of elementary

functions that students investigate is expanded, as is the range of

mathematical methods used to investigate functions.

Along with the functions studied earlier, students are now intro-

duced to power functions (with an examination of fractional and

negative exponents), exponential functions, logarithmic functions, and

trigonometric functions. Functions are investigated using the methods

of calculus.

Among the issues that have traditionally been part of the apparatus

of calculus, the topic studied in the greatest detail is “Derivatives.”

The content here is sufficiently traditional: the derivatives of basic

elementary functions, the rules of differentiation, and using derivatives

to investigate functions and solve problems involving maxima and

minima. If the topic “Derivatives” is studied by all upperclassmen,

then matters become more complicated with the topic “Integrals.”

Only the study of the concept of “antiderivatives” is currently declared

to be fully mandatory, along with the corresponding computation of

antiderivatives, with more difficult problems (such as problems that

involve computing areas) forming an optional part of the program —

more precisely, they are currently not included in the so-called require-

ments for graduation, which means that such problems will not appear

on exams.

In general, the fruitfulness of studying the elements of calculus in

school is sometimes contested. Critics mainly point to the difficulty

of this material. Some time ago, education minister Andrey Fursenko

even saw fit to remark that studying the methods of higher mathemat-

ics kills students’ creativity (http://www.rosbalt.ru/2009/02/11/

617365.html). However, these sections have long ago and firmly

become established as parts of the school curriculum and school

practice, and the author of this chapter likewise unequivocally belongs

to the number of their supporters, believing that the exposition of

the elements of higher mathematics contributes greatly to students’

intellectual development.

In this chapter, we will briefly present the history of the teaching of

higher mathematics in Russian (Soviet) schools and concentrate on ana-

lyzing the main textbooks and programs, examining that component in

---

March 9, 2011

15:2

9in x 6in

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

b1073-ch05

Elements of Analysis in Russian Schools

193

them which pertains to elements of analysis. We should also note that

in this chapter we will be focusing on so-called “ordinary” schools.

The programs of schools with an advanced course in mathematics have

traditionally devoted far greater attention to calculus, but this topic is

addressed in other chapters of this volume.