Russian Mathematics Education

Russian Mathematics Education: Programs and Practices

polynomials

x

3

+ y

3

+ z

3

= (x + y + z)

3

− 3(x + y + z)(xy + xz + yz) + 3xyz

makes it possible to solve the most varied problems. Thus, using the

identity just given, it is not difficult to deduce that the last three digits

of the number 423

3

+ 255

3

+ 322

3

− 423 · 255 · 272 are zeroes, since

x

3

+ y

3

+ z

3

− 3xyz is divisible by x + y + z. From the same identity

follows the inequality x

3

+y

3

+z

3

−3xyz ≥ 0, i.e. in essence an inequality

between the arithmetic mean and the geometric mean.

4.2.3

Equations and inequalities in the basic

and advanced courses in mathematics

in grades 10–11

As in the previous section, the sections on “Equations and Inequalities”

in the basic and advanced courses have a certain shared component,

which is mainly connected with standard techniques for solving

irrational equations.

Thus, in the textbook by Kolmogorov et al. (2007), the technique

for solving irrational equations in essence amounts to the method of

squaring both parts of an equation and subsequently checking for

roots to exclude extraneous ones. This method is quite legitimately

employed for all equations with radicals. Consider the following

example:

Solve the equation

√

x − 6 =

√

4

− x.

As an illustration, let us quote a passage from the textbook that pertains

to the solution of this equation: “Squaring both sides of this equation,

we obtain x − 6 = 4 − x, 2x = 10, x = 5. By substituting, we conclude

that the number 5 is not a root of the given equation. Therefore, the

equation has no solutions” (Kolmogorov et al., 2007, p. 207).

In the advanced course, somewhat more attention is devoted

to this topic, since the aim here is not merely to make students

learn certain simple algorithms, but first and foremost, as has already

been said, to develop their awareness of underlying connections

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March 9, 2011

15:2

9in x 6in

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b1073-ch04

On Algebra Education in Russian Schools

185

between different parts of the course. Therefore, the standard algo-

rithm, which remains a kind of “magic wand,” gradually gives way

to considerably more tricky maneuvers, which make it possible to

shorten solutions substantially and even to solve a certain range of

problems mentally. These techniques are based on the investigation

of the domains of the left-hand and right-hand sides of the equation,

their ranges, and the properties of the functions that enter into the

equation.

Let us use an example to clarify what has just been said. Thus, in

the advanced course, the equation given above does not need to be

solved straightforwardly. The students are already sufficiently prepared

to “see” that the domains of the left-hand and right-hand sides of the

equation do not intersect, so that there simply is no place for roots in

this equation.

Furthermore, in the advanced course, in addition to equations,

students solve irrational inequalities. The following examples show the

level of difficulty of these problems and the variety of techniques used

in solving them:

• Solve the equation

3

√