Rtf template

Примеры колец
: множества целых чисел, рациональных чисел, 
вещественных чисел с операцией умножения. 
Поле
– это коммутативное ассоциативное кольцо. Относительно операции 
сложения оно является группой, а относительно умножения группу образуют его 
ненулевые элементы. Аксиомы поля включают коммутативность и 
ассоциативность сложения и умножения, существование нулевого, единичного, 
противоположного и (для ненулевых элементов) обратного элемента, 
дистрибутивность умножения относительно сложения. 
Примеры полей
: множества рациональных и вещественных чисел; вычеты 
(остатки от деления) по модулю. 
Следует заметить, что среди полей могут быть и нечисловые, а суть 
операций – не совпадать с арифметическими сложением и умножением (при тех 
же обозначениях). 
Впервые идеи групп и полей в алгебре использовал французский математик 
Эварист Галуа (1811–1832). 
Далее будут обсуждаться только поля с конечным числом элементов (поля 
Галуа). Конечное поле, содержащее 
p
элементов, обозначается 
GF
(
p
)
. Значение 
p
называется характеристикой поля. 
Операция mod
a
p
означает 
приведение
по модулю
p
(нахождение остатка от 
деления 
a
на 
p
). 
Запись 
mod
a
b
p

означает, целые числа 
a
и 
b
сравнимы по модулю
p
(разность чисел 
a
и 
b
делится на 
p
без остатка, а остатки от деления этих чисел на 
p
равны). Сравнимые числа рассматриваются как равные в поле, и знак 

заменяется обычным знаком =. Иногда говорят, что такие числа являются 
конгруэнтными
по модулю 
p
. 

---

66 
Для простого числа 
p
всегда существует поле