Rtf template

GF
(
p
)
, состоящее из целых 
чисел от 0 до (
p
-1), все операции в котором выполняются по модулю 
p
. Такое поле 
называется 
простым
. 
Примитивным
элементом поля
 
GF
(
p
)
называется такой элемент, в виде 
степеней которого могут быть представлены все элементы поля, кроме нулевого. 
Если 
a
– примитивный элемент, то 
a
p
-1
=1. Иногда такой элемент называют 
генератором
[9]. 
В том случае, когда характеристика поля представима в виде 
p
m
, поле Галуа 
GF
(
p
m
)
с 
основанием
p
степени
m
образует полиномы степени 
m
-1: 
2
1
0
1
2
1
m
m
a
a x
a x
a
x





коэффициенты которых являются элементами простого поля 
GF
(
p
)
. Такое поле 
называется 
расширенным
. 
Следует заметить, что именно поля полиномов играют важную роль в таких 
областях, как криптография, кодирование. 
Полином над полем 
GF
(
p
m
)
называется 
неприводимым
, если его нельзя 
представить как произведение двух полиномов над тем же полем, имеющих 
меньшие степени. Неприводимый полином – это аналог простого числа. 
Для поля 
GF
(
p
m
)
также вводится понятие примитивного полинома, путем 
возведения в степень которого можно получить все ненулевые элементы этого 
поля. 
Поле Галуа
GF
(
p
m
)
можно построить, если задать его характеристику 
(основание) 
p
, степень 
m
и выбрать так называемый 
порождающий
(
образующий
) 
полином 
G
(
x
). Порождающий полином должен быть неприводимым. Все 
арифметические операции выполняются в поле 
GF
(
p
m
)
по модулю порождающего 
полинома
 G
(
x
). 
Сложение полиномов в поле Галуа происходит аналогично обычному 
сложению полиномов: суммируются (по модулю 
p
) коэффициенты слагаемых с 
одинаковыми показателями степени. 
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих построение полей Галуа 
и реализацию в них некоторых арифметических операций. 
1.
Для простого поля 
GF
(3)
результаты операций сложения и умножения 
представлены в табличной форме: 
+ 
0 
1 
2 
0 
0 
1 
2 
1 
1 
2 
0 
2 
2 
0 
1 
* 
0 
1 
2 
0 
0 
0 
0 
1 
0 
1 
2 
2 
0 
2 
1 
2.
Примитивным элементом для простого поля 
GF
(7)
является 3: 

---

67 
3
0
=1, 3
1
=3, 3
2
=2, 3
3
=6, 3
4
=4, 3
5
=5. 
3.
Для расширенного поля