Роль механики в подготовке будущего инженера-механика. Основные этапы развития механики

41
1.4 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением

Из определения скорости

Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени:

Модуль и направление скорости определяются выражениями

Из определения ускорения

Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени

Модуль и направление ускорения определяются выражениями

42 Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения Скорость точки.Вектор скорости точки всегда направлен по касательной вдоль оси , но может не совпадать с ней по направлению. За время t точка переместилась из М в М1 (ММ1= S) Скорость точки за этот промежуток времени равна: Скорость точки в данный момент времени равна:

числовая величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) точки по времени. Направлен вектор скорости по касательной к траектории, которая нам наперед известна. Если величина , то вектор скорости направлен в положительном направлении отсчета расстояния , а если , то в отрицательном.
Следовательно, численная величина скорости определяет одновременно и модуль вектора скорости и сторону, в которую он направлен.


Касательное и нормальное ускорения точки.
При естественном способе задания движения вектор ускорения определяют по его проекции на оси nb, имеющие начало в точке и движущиеся вместе с нею. Эти оси, называем осями естественного трехгранника, направлены следующим образом: ось  - вдоль касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось по нормали, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось - перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую тройку. Нормаль , лежащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль - бинормалью.
Проекции ускорения на оси  и Мn
, ,
где  - радиус кривизны траектории.
Проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от численной величины скорости или второй производной от расстояния (криволинейной координаты) по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой; проекция ускорения на бинормаль равна нулю( ).
Если заданы проекции скорости и , а так же проекции ускорения и в данный момент времени, то величину касательного ускорения точки можно определить по формуле:


= .
Вектор ускорения точки изображается диагональю параллелограмма, построенного на составляющих  и n ( = + n).Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора а и угол его отклонения от нормали определяется формулами:


= , .