Роль и место темы "Многоугольники" в школьном курсе геометрии

§2. Анализ содержания темы "Многоугольники" в школьных учебниках геометрии

В курсе геометрии 7-9 классов систематически изучаются геометрические фигуры на плоскости, причем большое внимание уделяется многоугольникам, изучению их свойств, рассмотрению величин характеризующих плоский многоугольник.

Курс геометрии 7 класса - это, по существу, геометрия треугольника.
Основное внимание при изучении темы следует уделить формированию умений доказывать равенство треугольников. Введение понятий медианы, биссектрисы и высоты треугольника, свойств равнобедренного треугольника расширяет класс задач на доказательство.
Темы "Четырехугольники" изучаются в курсе геометрии 8 класса. Здесь получают дальнейшее развитие умения учащихся проводить доказательные рассуждения. Основу для этого составляет изучение и применение признаков и свойств рассматриваемых в теме видов четырехугольников.
Доказательства большинства теорем данного раздела проводятся с опорой на признаки равенства треугольников, которые используются и при решении задач в совокупности с применением новых теоретических фактов.
Основное внимание при изучении темы отводится выработке у школьников умений применять многочисленные теоретические сведения при решении задач.
В 9 классе завершается изучение темы "Многоугольники". Сведения о многоугольниках обобщают известные учащимся факты о треугольниках и четырехугольниках. Большое практическое значение имеют теоремы о правильных многоугольниках. Особое внимание необходимо уделить выводу формул, связывающих стороны правильных многоугольников с радиусами вписанных в них и описанных около них окружностей и решению задач на вычисление элементов правильных многоугольников, длин окружностей и их дуг, что подготавливает аппарат решения задач, связанных с многогранниками и телами вращения в курсе стереометрии.

§3. Методика изучения темы "Треугольники"

3.1 Определения равных треугольников

Треугольник - самый "экономный" вид многоугольника. Для его задания достаточно указать его вершины - три точки, не лежащие на одной прямой, или три попарно пересекающиеся прямые.

Классифицируют треугольники также по степени их симметричности или по числу равных сторон.

Треугольник	Количество осей симметрии	Количество пар разных сторон
Равносторонний Равнобедренный Разносторонний	3 1 Нет	3 1 Нет

В школе принята также классификация треугольников по углам: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Изучение треугольников в соответствии с программой распределено практически по всем классам неполной средней школы. Курс 7 класса - это, по существу, геометрия треугольника.
Треугольник - одна из основных "рабочих" фигур изучаемого в школе курса планиметрии. Установление цепочек равных треугольников - широко используемый прием доказательства различных геометрических утверждений.
Главная цель изучения признаков равенства треугольников - добиться активного владения им, обратив особое внимание на отработку навыков использования признаков равенства треугольников в решении задач.
Равенство традиционно изучается в курсе планиметрии. Однако трактовка этого понятия, методика введения разные для различных учебников. Так, в учебниках А.Н. Колмагорова и Л.С. Атанасяна (4) равные треугольники - частный случай равных фигур, т.е. фигур, которые можно совместить наложением. Такие понятия, как "совмещение" и "наложение", считаются интуитивно понятными учащимся и в курсе не определяются.
В учебнике "Геометрия 7-11" А.В. Погорелова (18) понятие "равные треугольники" вводится в §1 "Основные свойства простейших геометрических фигур" п.9 "Треугольник".
Сначала дается определение треугольника: треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки - сторонами.
Затем рассматривают что такое угол треугольника, равные отрезки и равные углы: "Углом треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С.
Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах".
И только после введения выше перечисленных понятий дается определение "равные треугольники": Треугольники называются равными, если них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.
В учебнике "Геометрия 7-9" Л. С Атанасяна (4) понятие "равные треугольники" вводится в §1 "Первый признак равенства треугольников" п.14 "Треугольник", следующим образом:
"Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками. Получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Отмеченные три точки называются вершинами, а отрезки - сторонами треугольника.
Три угла - ВАС, СВА и АСВ - называются углами треугольника ABC. Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром". Затем говорится, что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными, если их можно совместить наложением.
Рассмотрим методику введения понятия "равные треугольники" на примере учебника геометрии А.В. Погорелова (29).
После введения перечисленных выше понятий и их определений школьники решают задачи: