Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi navoiy davlat konchilik

Tasodifiy jarayonlarning spektral zichligi.

Tasodifiy jarayonning ma’lum spektral zichligi
S_xx  
bo‘yicha, Furening qayta

o‘zgartirish usulidan foydalanib, tasodifiy jarayonning korrelyatsiyali funksiyasini aniqlash mumkin:

2
 
1 ^
 
j _ ¹
 
 


^Kxx
 _ S_xx

e d  _ S_xx
0
cos d ,
(11.3)


Bundan tasodifiy jarayonning dispersiya ifodasini hosil qilamiz:

  ¹ 
  


D_x  K_xx 0
 _ S_xx d .
0
(11.4)

b
11.8-rasm. Tasodifiy jarayonlar, ularning spektral zichliklari va korrelyatsiyali funksiyalari.

Statsionar tasodifiy jarayonning korrelyatsiyali funksiyasini va spektral zichligini bir biriga bog‘laydigan (11.2) va (11.3) ifodalar “Viner Xinchin formulalari” deb ataladi.

Spektral zichlik va korrelyatsiyali funksiyaning grafiklari, tasodifiy jarayonlarning tavsifiga bog‘liq holda, 11.8-rasmda keltirilgan. Ulardan ko‘rinadi-ki,

^Sxx
() ning garfigi qancha keng bo‘lsa
^Kxx
( ) ning garfigi shunchalik tor. Bunday

xolda 11.8,a-rasmdagi tasodifiy jarayon yuqoriroq chastotali tashkil etuvchiga, demakki, 11.8,b-rasmdagi tasodifiy jarayonga qaraganda o‘zgaruvchanroq tashkil etuvchiga ega.
Spektral zichlik tushunchasining muhim amaliy ahamiyati shundaki uning yordamida tasodifiy signallarning chiziqli tizimlardan o‘tishi nisbatan oson o‘rganiladi.
Spektral zichlikning fizik ma’nosini tushuntiramiz. Buning uchun “so‘ngi (finit) funksiya” degan tushunchani ko‘rib chiqamiz, u quyidagi ko‘rinishda yoziladi:


_x(t),
x_{T 
}0,
| t | T
| t | T ,
bo'lg anda; bo'lg anda,

Bu yerda T – funksiya x(t) ning davomiylik intervali.
Bu funksiya uchun Fure o‘zgartiruvchisini qo‘llab spektral tavsifini hosil qilamiz:

X_T  j  

_ x_T

(t)e^{ jt} dt 
T
_ x(t)e^{ jt} dt.
T

Shunda Parseval formulasiga muvofiq, so‘nggi funksiya uchun quyidagi tenglik o‘rinli:



T
_ x² (t)dt 

x² (t)dt  ¹

T


_T 2

_ X_T

( j)
2
d _,

bunda integral ostidagi
X ( j) ²
iofda
x_T (t)
funksiyasi energiyasining spektral

T
zichligi bo‘ladi. Keltirilgan ifodani intiltirib, yozamiz:
2T ga taqsimlab davomiylik-T ni cheksizlikka

T
lim ¹ _ x² (t)dt  ¹


2
_ lim
X_T ( j)
² d.

T  _{2T T}
T 


x  0
bo‘lganda tenglamaning chap qismi dispersiyaga teng bo‘ladi, yani




^{1 } 2 ^{1 } 2

D 
^x 2
lim
T 

X_T ( j)
d  _
lim
T 
0
X_T ( j)
d _.

Bu ifodani (11.4) bilan taqqoslab yozish mumkin:

S ()  lim X ( j) ²
 lim ¹ X ( j) X
( j)_.

xx _{T } T
T  _2T ^{T T}

Shunday qilib, spektral zichlik tasodifiy jarayon energiyasining so‘nggi (finit) funksiya bilan ifodalangan spektral zichligining cheksizlikka intilgan davomiylikka nisbatidan iborat bo‘ladi. Demak, spektral zichlik tasodifiy jarayonda spektral quvvatni bildiradi.

Ikkita tasodifiy jarayon –
X (t)
va Y (t) ga oid o‘zaro korrelyatsiyali funksiya –

K_xy ( ) ning Fure usuli bilan o‘zgartiriulgan ko‘rinishi tasodifiy jarayonlarning o‘zaro

spektral zichligi
S_xy ( j) deyiladi, ya’ni:
S_xy ( j) 

_ K_xy ( )e^{ j} d .


O‘zaro spektral zichlik
S_xy ( j)
kompleks funksiya bo‘lib, ikkita tasodifiy

jarayon
X (t)
va Y (t) ning ehtimoliy bog‘lanish darajasini ko‘rsatadi. Bu zichlik

uchun quyidagini hosil qilamiz:

S ( j)  lim ¹ X ( j)Y
( j).

xy _{T  2T} T T

Spektral zichlikni bilish
X (t)
va Y (t)
jarayonlarning o‘zaro korrelyatsiyali

1
funksiyasini aniqlash imkonini beradi:
K_xy ( ) 


_ S_xy ( j)e ^j d.

2 _
Misol: Statsionar tasodifiy jarayon quyidagicha:


X (t) ning korrelyatsiyali funksiyasi

K_xx ( )  De^{ } .

Spektral zichlik –
^{Sxx ()} ni aniqlash talab etiladi.

Yechish: (11.1) formulaga binoan quyidagicha yozish mumkin:




 0 
  

S_xx ()  D _e
_e j _{d
 D e} _e j _{d  e}  _e j _{d  }


^  1  1
 0


^ ^ 1

1 ^ 2D






 D_{  
e}(   j )
j
^  
_e(   j )
j _0
 D_{  }
j ^  
j ^{ }
 ²  ^{2 .}

^{Tasodifiy jarayonning spektrdagi}  ^{parametrning qiymati kamayganda past} chastotali tashkil etuvchilarning ulushi ortadi: spektral zichlikning (egri) chizig‘i ikki
^{biqinidan siqilib, tepaga cho‘zilib chiqadi,}   0 ^{chegarada S}_xx ^{() chizig‘i (egri)
vertikal chiziqqa aylanib, buziladi.}  ^{ning qiymati oshganda tasodifiy jarayonning}

spektridagi past chastotali tashkil etuvchilarning ulushi kamayadi, egri chiziq chastotalar o‘qi bo‘ylab yotiqroq joylashadi.


Nazorat va muhokama savollari

5. 
   Spektral zichlik nima?
   
6. 
   Signal manbai sifatida ishlatiladigan „Oq shovqin“ni tushuntiring.
   
7. 
   Tasodifiy jarayonlarning korrelatsion funksiyasini qanday hisoblanadi?
   

S_xx ()

MA’RUZA №17


CHIZIQLI SISTEMLARNING KIRISH VA CHIQISHIDA TASODIFIY JARAYONLARNING KORRELYASION FUNKSIYALARI VA SPEKTRAL ZICHLIKLARI ORASIDAGI ALOQA


Reja:

1. 
   Spektral zichlik va uning korrelyatsiyali funksiya bilan bog‘liqligi
   
2. 
   Tasodifiy ta’sirlarning modellari.
   

1. 
   Spektral zichlik va uning korrelyatsiyali funksiya bilan bog‘liqligi
   

Tasodifiy jarayon X t  ning Fure usuli bilan o‘zgartirilgan korrelyatsiyali

funksiya K_xx ( ) si spektral zichlik – S_xx   deb ataladi, ya’ni:


^Sxx
  
_ ^Kxx

 e^{ j} d . (11.1)

Bu ifodani, Eyler formulasi ( e^{ j}  cos  j sin  )ni hisobga olib, quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

S_xx   

_ K_xx  cos d 


j _ K_xx  sin  d .


Integral ostidagi ifodalar: funksiya. Shu sababdan:
K_xx  cos -juft funksiya;
K_xx  sin 
- toq

S_xx   

_ K_xx  cos d


 2_ K_xx  cos d .
0
(11.2)

^{Spektral zichlik chastota -}  ^{ga nisbatan haqiqiy va juft funksiya hisoblanadi} ya’ni:

Demak,
S_xx    S_xx  .

S_xx   ning grafigi ordinata o‘qiga nisbatan simmetrik.

Istalgan statsionar tasodifiy jarayon uchun spektral zichlik musbat funksiya - 
dan iborat.

2. 
   Tasodifiy ta’sirlarning modellari
   

Ehtimollik tavsiflari keltirilgan tasodifiy ta’sirlarning keng tarqalgan bazi modellarini ko‘rib chiqamiz.

1. 
   Ideal oq shovqin. Chastotalar diapazoni bo‘lgan tasodifiy ta’sir:
   

(; ) da spektral zichligi o‘zgarmas

bunda c²
-jadallik.

S_xx ()  _ N ( )e^{ j} d

_{ Ne} j
 0

N  c² ,

Oq shovqinning spektral zichligi grafigi 11.9-rasmda ko‘rsatilgan; hamma chastotalar bo‘yicha bir xil taqsimlangan.
Korrelyatsiyali funksiyasi

1
K_xx ( ) 

_ S_xx ()e ^jd 




1
_ S_xx () cos d  c² ( ).

^2  0
K_xx ( ) ning grafigi


11.9-rasm. Ideal oq shovqinning spektral zichligi.

2. 
   Real oq shovqin. Oq shovqin ko‘rinishidagi model ta’sirlarni juda ideallashtirib yuboradi, shuning uchun, amaliyotda spektral zichligi cheklangan real oq shovqin ko‘rinishidagi real modeldan foydalaniladi (11.10,a-rasm):
   

S  N  c² , agar

xx
S_xx  0, agar
^Sxx
N
  ₀
  ₀
bo‘lganda; bo‘lganda.

0


  _{0 0 }
^{11.10-rasm. Real o}a^{q shovqinning spektral zichligi (a) va kborrelyatsiyali funksiyasi} (b).

Bu holda, dispersiya:
₁ 


c²

D_x  _ S_xx ()d  ⁰ ,
2 _ 
va korrelyatsiyali funksiya (11.10,b-rasm):

^Kxx
( )  ¹
2

_c ² e


j
d  ^c

2
2
¹ _e j
j
₀
₀
 _c2

sin ₀ .



3. 
   Silliq real oq shovqin. Analitik tadqiqotlarda ideal oq shovqinning spektral zichligini uzluksiz, siniq funksiya bilan almashtirish afzalroq:
   

^Sxx
()  ^{2D ,}
²   ²

bunda
D, 
^{– tavsifning parametrlari; so‘nishni ifodalaydigan parametr –}  ^ning

o‘lchov birligi chastota –  niki bilan bir xil, yani rad/sek. Spektral zichlik –
^{Sxx ()} ning grafigi 11.11,a-rasmda ko‘rsatilgan.
Bu funksiya   ,  oraliqda, amaliyotga kerakli aniqlik bilan ideal oq
shovqinni aks ettira oladi.
Bu holda dispersiya quydagicha bo‘ladi:


1 ^ 2D D 1  ^

D 
^x 2
^  ²   ^{2 d } 
arctg

 

 D,

korrelyatsiyali funksiya esa (11.11,b-rasm)

xx


K ( )  D^{ } .
11.11-ra^-μsm. Sill⁰iq, rea^μl oq shov^ωqinni spektral zichli⁰gi (a) va korrelya^τ tsiyali funksiyasi (b).


11.12-rasm.^aNomuntazam chayqalish^bturidagi tasodifiy jara^dyon va uning ehtimollik tavsiflari.

4. 
   Nomuntazam chayqalish. Ko‘plab harakatlanuvchi ob’ektlar, masalan, uchish apparatlari, kemalar, avtomobillar doimo nomuntazam ta’sirlar ostida bo‘ladi
   

(atmosfera ta’sirlari, dengiz to‘lqinlari, yo‘lning notekisligi kabilar). Ularning harakati tasodifiy qonunlar bilan kechadi (11.12,a-rasm). Ob’ektlarning bunday tasodifiy xarakatlari nomuntazam chayqalish deyiladi. Muntazam chayqalish ham bor, bundagi harakat davriy xususiyatga ega bo‘ladi.
Nomuntazam chayqalishning korrelyatsiyali funksiyasi

spektral zichligi

^Kxx
( )  D^{ }
cos ₀ ,

S ()  D^{ 1}  ^{1 } ,





0

0
^{xx }  ²  (  )²  ²  (  )^{2 
bu erda }₀ ^{– rezonansli chastota;}  ^{– so‘nish parametri; D – dispersiya.}
Endi, ta’sirlar modeli sifatida ba’zi muntazam jarayonlarning spektral zichligini ko‘rib chiqamiz.

5. 
   O‘zgarmas (doimiy ) jarayon
   

x(t)  a . Spektral zichligi

xx
S ()  2a² ().
11.13,a-rasmda spektral zichlik grafigi ko‘rsatilgan. Unga qaraganda, jarayonning hamma quvvati no‘l chastotada mujassamligini ko‘rish mumkin.




11.13–rasm. Turli tasodifiy jarayonlarning spektrial zichliklari.

6. 
   Garmonik jarayon x(t)  Asin(₀t  ) . Spektral quvvat
   

_ A _2 _{ }

S_xx ()  2 _{ 2 }
 (  ₀ )   (  ₀ ) .

 


S_xx ()
ning 11.13,b-rasmdagi grafigidan ko‘rinidiki, jarayonning hamma quvvati

₀ va  chastotalarda to‘plangan. Agar, faqat musbat chastotalar diapazoni

0
ko‘riladigan bo‘lsa, quvvat ^ chastotaga jamlanadi.

7. 
   Fure qatorining xususiy yig‘indisi
   

quvvati quyidagicha:



x(t)  c₀  _c_k sin(_k t  _k ).
k 1
Spektral

^  
ⁿ  ^c 2 ^

S ()  2 _c²  
 ^k 
 (   )   (   )_ .

xx _ 0

k 1
k k _

 ² 
S_xx ()
ning 11.13,d-rasmdagi grafigi chiziqli (diskret) spektrdan iborat. Bunda

impulslar shunday tasvirlanadiki, ularning amplitudasi Furening tegishli

0
koeffitsientlari kvadratiga proporsional bo‘ladi, yani c²
va (c_k
/ 2)² .

8. 
   Muntazam garmonik tashkil etuvchilar qo‘yilgan tasodifiy jarayonlarning spektral zichligida rezonansli cho‘qqilar aniq ko‘rinib turadi. Bu cho‘qqilarni bazi “kechinma” larda ko‘rish qiyin bo‘lgan garmonikalarga mos keladi (11.13,e-rasm).