Решение для всех последующих моментов. Чтобы проиллюстрировать общий подход, рассмотрим

Пример 8.7.
Пользуясь явной схемой, найти приближенное решение первой начально-краевой задачи:
(начальное условие)
(начальное условие)
(краевое условие на левой границе)
(краевое условие на правой границе).
Сравнивая с общей постановкой задачи, получаем
(8.54)

---

16/23
1. Зададим шаг по пространству, равным
, шаг по времени выберем из условия устойчивости: 
. Положим 
. Тогда
По формулам (8.50), (8.52), (8.53), учитывая, что 
, получаем значения
приближенного решения на нулевом и первом слоях:
2,3. Поскольку 
, решение на последующих слоях вычисляется по И формуле, следующей из (8.49):
В табл. 8.2 приведены результаты расчетов при 
, так как решение 
симметрично относительно 
при фиксированном .

---

17/23
Замечание.
В практике применения численных методов существует полезный прием, позволяющий на основе
результатов расчетов судить о том, с какой точностью они получены. С этой целью используется правило Рунге, изложенное
выше применительно к уточнению результатов численного дифференцирования и интегрирования. Аналогичный подход
можно использовать для оценки точности решения задач математической физики. Опишем идею его реализации:
а) находится численное решение с шагом по пространственной переменной и шагом по времени ;
б) расчет повторяется с шагами 
и 
с тем, чтобы образовывались слои, некоторые из которых совпадали бы со
слоями, полученными ранее;
в) сравниваются оба численных решения в одинаковых узлах сетки (им соответствуют одни и те же значения
пространственной координаты и времени). Если отклонение удовлетворяет заданным требованиям, то процесс завершается
и в качестве приближенного решения задачи принимается полученное в п.б. Иначе шаги снова делятся пополам и процесс
продолжается.