Решение для всех последующих моментов. Чтобы проиллюстрировать общий подход, рассмотрим

Замечания
1.
Данная схема условно устойчива (устойчива при выполнении условия
.
(8.50)
(8.51)
(8.52)

---

Разностные схемы решения уравнений в частных производных 2-го порядка – MathHelpPlanet
13/23
2.
Разностная схема для уравнения
строится аналогично и является устойчивой при 
, где 
.
3.
Простейшая замена (8.51) имеет первый порядок аппроксимации. Поскольку разностная схема (8.49) аппроксимирует
дифференциальное уравнение со вторым порядком, желательно, чтобы разностное начальное условие также имело второй
порядок аппроксимации. Для этого запишем аналог формулы Тейлора (8.17) в направлении при 
Если функция 
имеет ограниченную вторую производную, то в силу исходного дифференциального уравнения 
получаем 
. Из предыдущего соотношения получаем
или
где 
. В результате соответствующее начальное условие в разностной форме имеет вид 
.
Так как 
, то
Если в разностной схеме используется (8.51), схема имеет первый порядок аппроксимации по и второй — по , а если
(8.53), то имеет второй порядок аппроксимации по и по .
Методика вычислений по явной схеме
(8.53)

---

14/23
1. Задать значения шагов сетки
так, что 
, где 
— целые положительные числа, причем
значение шага по времени выбрать из условия устойчивости 
. Вычислить
Приведенные выражения дают решение задачи для первых двух слоев сетки (рис. 8.8). Положить 
.
2. Найти решение на (n+1)-м слое (рис. 8.11):
3. Если
, вычисления завершить. Иначе положить 
и перейти к пункту 2.
Теперь рассмотрим проблему конструирования неявных разностных схем. Для их получения все производные, входящие
в дифференциальное уравнение, заменяются конечно-разностными аппроксимациями с использованием (n+1)-го слоя для
аппроксимации 
. Однако значения решения на (n+1)-м слое уже не выражаются в явном виде через значения на
предыдущих слоях. В связи с этим в неявных схемах для нахождения решения на следующем временном слое необходимо
решать систему линейных алгебраических уравнений.
Для иллюстрации общего подхода получим неявную схему для волнового уравнения. При аппроксимации производных в
уравнении будем использовать (8.30) и формулу (8.26), записанную на (n-1)-м, n-м и (n+1)-м слоях:

---

15/23
где — параметр, 
. Значения приближенного решения на нулевом и первом слоях вычисляются по
формулам (8.50)–(8.52), как и в явной схеме. На остальных слоях схема представляет собой линейную систему
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, в которой диагональные элементы преобладают. Решение этой
системы существует, единственно и вычисляется методом прогонки.
Формула (8.54) выражает три неизвестных значения решения на (n+1)-м временном слое через решения на n-м и (n-1)-м
слоях. В отличие от схем для уравнения теплопроводности, в которых использовались только два временных слоя (n-й и
(n+1)-й) , здесь требуется использовать три слоя: (n-1)-й, n-й и (n+1)-й. Поэтому такая схема называется неявной
трехслойной. Ей соответствует девятиточечный шаблон, изображенный на рис. 8.10,б. При 
схема (8.50)-(8.52),(8.54)
переходит в явную схему "крест".
При 
схема абсолютно устойчива, а при 
схема условно устойчива (устойчива при выполнении
условия 
) При 
схема имеет второй порядок аппроксимации по и по .