ResearchGate

dp/dt + V(pu) = 0 ;
(1.1)
• impuls	d(pu)/dt + (Vpu)u = - Vp ;	(1.2)
• ichki energiya	d(ps)/dt + pVu + V(psu) = 0 ;	(1.3)

Muhitning harakati bilan uning xossalari uzatiladi - bu gidrodinamik tenglamalar bilan tavsiflanayotgan eng muhim jarayonlardan biri. Agar tenglamalarni Lagranj hosilasi, ya’ni

d/dt = d/dt + uV

- muhitning harakari bilan bog‘liq bo‘lgan koordinatalar sistemasida vaqt bo‘yicha hosila yordamida yozsak, u holda gidrodinamika tenglamalari sodda ko‘rinishni oladi. (1.1) - (1.3) tenglamalarda divergensiyani hisoblab, quyidagi Lagranj, konservativ ko‘rinishidagi tenglamalarga kelamiz:

• massa	dp/dt = - pVu ;	(1.5)
• impuls	p du/dt = - Vp ;	(1.6)
• ichki energiya	p ds/dt = - pVu .	(1.7)
Xususan, ideal	gazning holat tenglamasi ichki	energiya tenglamasini

soddalashtirish imkonini beradi va o‘z navbatida adiabatik qonun uchun ifodaga aylanadi. Shuni ta’kidlash lozimki, vaqt bo‘yicha Lagranj hosilasi uzatish effektini tavsiflaydi, o‘z navbarida bu tenglamalar har birining o‘ng tarafi muhitning siqilishi bilan bog‘liq.

2. 
   Eyler tenglamalarining giperbolikligi
   

Ikkita erkli o‘zgaruvchidan bog‘liq n ta kvazichiziqli tenglamalar sistemasini qaraylik:
Ut + AU_X + B = 0, (1.8)
bu yerda
A

U =	u	; в =	i i	; a =	v	a n
	^un _		IA J		^an1 ■	^ann

a_tj = a_tj (x, t, щ,..., u_n);
^bi = ^bi⁽X^{t, u}n⁾.

gar atj = a_iJ(x,t), b_t = b_t(x,t) bo‘lsa, u holda yuqoridagi (1.8) sistema chiziqli; agar a_tj = const, b_t = const bo‘lsa, u o‘zgarmas koeffitsiyentli deb ataladi.
Ushbu
Ut + F(U)x = 0
sistema saqlanish qonunlari sistemasi deb ataladi.
Ut + F(U)x = 0 ^ Ut + AUx = 0, bunda A = 3F/3U - Yakob matritsasi.
Ar = Ar - xos qiymatlar tenglamasi, bunda det(A-AI)=0 uchun A - xos sonlar,
T т
ularga mos keluvchi r_t - xos vektorlar deb ataladi. Xuddi shunday tenglamadan I_t - chap xos vektorlar topiladi.
Ta ’rif: (1.8) sistema (x,t) nuqtada giperbolik deyiladi, agar A matritsa n ta A₁, ... Aa - haqiqiy xos qiymatlarga va ularga mos n ta chiziqli bog‘lanmagan r_t - o‘ng xos vektorlarga ega bo‘lsa. Bu sistema qat’iy giperbolik deyiladi, agar barcha A- lar har xil bo‘lsa.
Eylerning birinchi tartibli tenglamalarini quyidagicha nokonservativ ko‘rinishda yozish mumkin:
Wt + AWx = 0,
bunda

	p		u p 0
W =	u	; a =	0 u 1/p
	_ p J		0 yp u

det (A-AI) = (м-i)³ - (u-A)yp/p ,





Xos qiymatlarini topamiz:
bu yerdan
1 /9
bunda a = (yp/p) . Bunga mos xos vektorlari:

A₁ = u - a ; A₂ = u ; A₃ = u + a ,

	' 1 '		" 1 "		' i "
r1 =	u - a H - ua	; r2 =	u u^2/2	; гз =	u + a H + ua

bu yerda H = (E+p)/p = u²/2 + yp/[(y-1)p].
Misol. Ushbu
U
э.*сэй
=0, №(*,0) = {J’
chegaraviy masala uchun xos qiymatlar va xos vektorlari quyidagicha:


j — A u.-( = 0
Xarakteristik o‘zgaruvchilari quyidagicha:
Yechim quyidagicha: bu yerda
0 , _n, . 1, Jf<0 0 , , f —1, x<0
""^=w'^⁰' = < o, *>0 ■ = \ 0, I>0
Yakuniy natijalar:

2. 
   H
   
   W l; — Я| IV 1д — 0, 1v'2r 4- — 0.
   
   
   olat tenglamasi
   

Bu asosiy tenglamalami qaralayotgan muhitning aniq termodinamik xossalarini tavsiflovchi holat tenglamalari bilan to‘ldiramiz.
Agar ideal muhit qaralsa, u holda uning holati faqat ikkita termodinamik parametr (muhit birlik massasi s - ichki energiyasi va s - entropiyasi hamda p - zichlik (yoki V=1/p- nisbiy hajm), p - bosim, T - temperatura, h - entalpiya (issiqlik miqdori) parametrlar juftligi) dan bog‘liq bo‘ladi (bunda V va p lar juftligidan tashqari). Bunday muhitlar ikki parametrli yoki sodda muhitlar deb ataladi. Ikki parametrli muhitning hamma termodinamik parametrlari uning berilgan ikki paramtri bilan holat tenglamasi deb ataluvchi tenglama yordamida ifodalangan bo‘ladi.
Muhitning holati p - bosim, p - zichlik (yoki V - nisbiy hajm) va T - temperatura bilan
P = P ^(V,T)
kabi yoki umumiy holda
f (P,V,T) = 0
tenglama bilan ifodalanishi mumkin. Bu tenglama muhit holatining termik tenglamasi deb ataladi.
Holat termik tenglamasi hamma vaqt ham muhit termodinamik modelining to‘la xarakteristikalarini bermaydi. Masalan, ushbu s = s (V,T) - holat tenglamasi V va T dan bog‘liq boshqa termodinamik miqdorlarni aniqlash imkonini beradi, bunda p va s lar o‘zaro bog‘liq bo‘ladi.
Holat tenglamasi ichki energiyaning lokal qiymatini muhitning zichligi va bosimi bilan bog‘laydi:
s = s (p, p). (1.9)
Bunga misol qilib:

• 
  ideal gaz
  

s = kT/[m(y-l)] = p/[fi(y-l)];

• 
  to‘yingan gaz (o‘zgarmas issiqlik sig‘imli ideal gaz)
  

s = cv T = RT /(y-1);

• 
  siyraklashgan molekulali gaz uchun termik holat tenglamasi
  

P = f (V • T,
bundaf (V) - nisbiy hajmning biror funksiyasi;

• 
  ideal politrop muhit uchun adiabatik qonun
  

p/p^y = const
holat tenglamalarini keltirish mumkin, bu yerda muhit uchun y=c_P/c_V - issiqlik sig‘imlari nisbati, ya’ni adiabata ko‘rsatgichi (masalan, bir atomli gaz uchun у = 5/3); m - molekulalarning massasi; к - Boltsman doimiysi; T - temperatura.
Sinov savollari

1. 
   Uzviylik tenglamasini yozing va uni izohlang.
   
2. 
   Harakat tenglamasini yozing va uni izohlang.
   
3. 
   Eyler tenglamasini yozing va uni izohlang.
   
4. 
   Eyler tenglamasi uchun xos son va xos vektorni ko‘rsating.
   
5. 
   Eyler tenglamasining giperbolikligi deganda nimani tushunasiz ?
   
6. 
   Sodda muhit va ikki parametrli muhit nima?
   
7. 
   Ideal gaz, to‘yingan gaz, politrop muhit uchun holat tenglamalari qanday yoziladi?
   
8. 
   Ideal gaz, to‘yingan gaz, politrop muhit nima?
   

Adabiyotlar: [3], 271-278 b.; [6], 8-55 b.
Fan: «Gidrodinamikaning asosiy masalalarini sonli yechish usullari».
O‘quv-mashg‘ulot soati: 2 s. (ma’ruza); 4 s. (mustaqil ish).
O‘quv-mashg‘ulot turi: an’anaviy ma’ruza.
O‘quv-mashg‘ulot maqsadi:

• 
  ta’limiy - siqiluvchan va siqilmaydigan muhit, qovushoqlik va issiqlik o‘tkazuvchanlik, tezliklar maydonining solenoidallik sharti, siqilmaydigan muhitning harakati tenglamalari, siqilmaydigan muhit tenglamalarini yechishning ikkita yo‘li, uyurmalanish va oqim funksiyasi kabi mavzu materiallarini qabul qilish; muammoli masalani yechishga ko‘nikma hosil qilish va ma’lumotlarni eslab qolish;
  
• 
  tarbiyaviy - ishontirish; xulqi ustidan nazorat; faol mustaqil ishlash; mustaqil ishni bajarishda vaqtni to‘g‘ri taqsimlash; javobgarlikni his qilish; mehnat- sevarlik; yakka tartibda va guruhlarda hamkorlikda ishlash; raqibni hurmat qilish; kelishuvchanlik; bir to‘xtamga kelish; diqqatni jamlash; sarishtalik;
  
• 
  rivojlantiruvchi - darslik bilan ishlash; ijodiy namuna; tahlil; taklif; xulosa; tanqidiy qarash; xususiydan umumiyga o‘tish; umumlashtirish; nazariy, mantiqiy va analitik fikrlash; ijodiy yondashish; Internetdan foydalanish.
  

O‘quv-mashg‘ulotni o‘qitish texnologiyasi:

• 
  o‘qitish usuli: noan’anaviy (tashkiliy qism; so‘rash, tushuntirish, mustahkam- lash, aqliy hujum; «Insert» texnikasi; uyga vazifa; xulosa);
  
• 
  o‘qitish shakli: jamoaviy, guruh bo‘lib;
  
• 
  o‘qitish vositasi: uslubiy qo‘llanma; ma’ruzalar matni; tarqatma materiallar; slaydlar;
  
• 
  o‘qitish sharoiti: kompyuter; videoproyektor; elektoron doska bilan ta’minlan- gan auditoriya;
  
•