Режа: Тўпламлар ва уларнинг берилиши

4.Тўпламнинг қуввати

Тўпламнинг қуввати деб ушбу тўпламнинг элементлари сонига айтилади.

Мисол: A’ = {1,2,3,4, ..., n}, B’ = {5, 6, 7, 8, ..., n + 4}, C’ = {2, 4, 6, 8, ..., 2n}. A’, B’, C’ тўпламлари n элементдан ташкил топган, яъни | A’| = |B’| = |C’| = n


11-Таъриф. Агар ва тўпламларнинг элементлари жуфтликлар хосил қилиб ва хар бир элеменгт фақат ва фақат бита жуфтликга тегишли бўлса у ҳолда ва тўпламлар орасида бир қийматли акслантириш ўрнатилган дейилади.
12-Таъриф. Агар икки тўплам (чекли ёки чексиз) орасида бир қийматли акслантиришни ўрнатиш мумкин бўлса, у ҳолда ушбу тўпламлар бир ҳил қувватга эга дейилади..


Мисол: A = {1,2,3,4, ..., n, ...} B = {5, 6, 7, 8, ..., n + 4, ...} C = {2, 4, 6, 8, ..., 2n, ...}
А и В (n, n + 4) 
А и С (n, 2n)   |A| = |B| = |C|
В и С (n+4, 2n) 


13-Таъриф. Агар -тўпламнинг қуввати ўзининг қандайда бир қисм тўпламининг қувватига тенг бўлиб, ва улар устма-уст тушмаса, у холда -тўплами чексиз дейилади.


Мисоллар:

1. 
   [0; 1] ва [a; b]  |[0; 1]| = |[a; b]|
   
2. 
   |[0; 1]| = |R|
   
3. 
   |(0; 1)| = |R|
   

14-Таъриф. Агар тўпламининг қуввати натурал сонлар тўпламининг қувватига тенг бўлса, яъни X| = |N|, у ҳолда тўпламга саноқли тўплам дейилади.
Пример: Натурал ва бутун сонлар қувватлари бўйича тенг. |N| = |Z| тенглиги қуйидаги мослик ёрдамида исботланади:
n  (n N).


Қуйидаги тасдиқлар ўринли:

1. 
   Саноқли тўпламнинг ихтиёрий қисм тўплами саноқли.
   
2. 
   Саноқли сондаги чекли тўпламларнинг бирлашмаси саноқли тўпламдир.
   
3. 
   Саноқли тўпламларнинг саноқли ёки чекли сондаги бирлашмаси саноқли тўпламдир.
   

15-таъриф. Айтайлик бизга ва тўпламлари берилган бўлсин. Агар шундай В’ В тўплами мавжуд бўлиб, |А| = |В’| ва |А|  |В| мунособатлари бажарилса, у холда тўпламнинг қуввати тўпламнинг қувватидан кичик (|A|<|B|) дейилади.
4-Теорема (Кантор). [0; 1] кесмаси саноқли эмас, яъни |[0; 1]| > |N|.


16-таъриф. [0; 1] кесмасининг қуввати континуум дейилади. Бундай қувватга эга тўпламга континуал дейилади.


Хулоса. Рационал сонлар тўпламининг қуввати ҳақиқий сонлар тўпламининг қувватидан кичик, яъни |Q| < |R|.