Режа: Тўпламлар ва уларнинг берилиши

1-теоремадаги айниятлар жуфт-жуфт тарзда шундай жойлаштирилганки, бири-иккинчисидан ва ҳамда ва белгиларни бир вақтда ўзаро жойларини алмаштириш натижасида келиб чиқади.
2-теорема. универсал тўпламнинг исталган ва тўпламлари учун қуйидагилар ҳақлидир:

6. Агар ҳамма лар учун бўлса, у вақтда .

6^!. Агар исталган учун бўлса, у вақтда .
7.7^. Агар ва бўлса, у вақтда .
8.8^. .
9. 9^.
10. 10^.
11. 11^.
12. 12^.
13. 13^.
2-теореманинг айрим тенгликлари адабиётда махсус номга эгадир. Масалан,10 ва 10^ тенгликлар идемпотентлик қонуни дейилади,12 ва 12^-ютиш қонуни,13 ва 13^-де Морган қонуни деб аталади.
Тўпламлар алгебрасида бирор тенгликдан шу тенгликка кирган ни га, ни га, ни га, ни га бирданига алмаштириш натижасида ҳосил этилган иккинчи тенгликни биринчи тенгликка ва, аксинча, биринчи тенглик иккинчи тенгликка нисбатан иккитарафлама тенглик деб айтилади.
3-теорема. Исталган ва тўпламлар учун қуйидаги мулоҳазалар жуфт-жуфт эквивалентдир:
(I) ; (II) ; (III) . (1)
мулоҳазалар жуфт-жуфт эквивалентдир деган тасдиқ қуйидагини билдиради: исталган ва учун га эквивалентдир. Бу мулоҳаза ўз навбатида фақатгина нинг, нинг, ...., нинг тўғрилигини келтириб чиқаргандагина тўғридир.
Исбот: (I) – (II) нинг тўғрилигини келтириб чиқаради. Айтайлик, бўлсин. Исталган ва учун эканлигини кўрсатиш керак.
а) бўлса, у вақтда ва дир. Демак, .
б) бўлсин. У вақтда (I.I) га асосан ҳамдир. Шунинг учун , яъни (I) – (II) нинг тўғрилигини келтириб чиқаради.
Энди бўлсин, у вақтда эканлигини исбот қиламиз.

Демак, .
(III) (I) нинг тўғрилигини келтириб чиқаради. Ростдан ҳам ва бўлишидан . Бу билан исбот якунланади.