|
Ayrim xususiy hollardagi harakat tenglamalarini integrallash
Bitta erkinlik darajasiga yega bo’lgan sistema bir o’lchovli sistema deyiladi.
keltirish mumkin. Bir o’lchamli harakat tenglamasi umumiy ko’rinishdagi to’la yechimga ega ya’ni tegishli harakat tenglamasini berilgan boshlang’ich shartalarda yechib, zarraning harakati to’liq aniqlanishi mumkin. Buning uchun energiyaning saqlanish qonunidan foydalanish maqsadga muvofiq. Bir o’lchovli hol uchun Lagranj tenglamasi quyidagi ko’rinishda
(1)
Bunda Lagranj funksiyasiga tegishli harakat tenglamasining birinchi integrali energiyaning saqlanish qonunini ifodalovchi birinchi tartibli differensial tenglama
matematik mayatnik uchun (8-a rasm) energiyaning saqlanish qonuni quyidagi ko’rinishga ega:
(2-a)
(2-v)
(2-b) tenglikda mayatnikning potensial energiyasi O nuqtadan o’tuvchi gorizontal chiziqdan boshlab hisoblangan. (2-a) munosabatdan nuqtaning koordinatasi va vaqtni topamiz.
(3-a)
(3-b)
Harakat tenglamasini yechishda E to’la energiya va integral doimiysi ikkita ixtiyoriy doimiy vazifasini bajaradi. (3-a) dagi birinchi va ikkinchi integrallar mexanik sistemaning bir o’lchovli harakatini to’la aniqlaydi. Ammo (3) yechimdan foydalanmasdan ham faqat (2-a) saqlanish qonuni asosida ham bir o’lchamli harakatni ko’pgina xarakterli xususiyatlarini aniqlash mumkin. Bunda to’liq energiya va potensial energiyalarning berilgan grafiklari asosida bir o’lchamli harakat sifat jihatdan tekshiriladi va mumkin bo’lgan harakat sohalari hamda ulardagi harakat turlari aniqlanadi. Kinetik energiya hamma vaqt musbat kattalik bo’lganidan va saqlanish qonuniga ko’ra
(4)
Demak, harakat faqat (4) shartni qanoatlantiruvchi, ya’ni E to’liq energiya U potensial energiyadan katta bo’lgan sohalardagina yuz beradi. Shuning uchun (4) shartni qanoatlantiruvchi sohalar klassik ruxsat yetilgan sohalar deyiladi.
Aksincha, (4) shartni qanoatlatirmaydigan, ya’ni potensial energiya to’liq
energiyadan katta (E < U (x)) sohalarlarda harakat yuz bermaydi. Bunday sohalar
taqiqlangan sohalar deyiladi.
Mexanik sistemaning
U ( x)
8-rasm
potensial energiyasi 8-b rasmda ko’rsatilgan
qonuniyat bo’yicha o’zgarsin, E to’liq energiyaning turli qiymatlarini abssissa o’qiga parallel bo’lgan chiziqlar bilan tasvirlab, ruxsat etilgan va taqiqlangan
sohalarni aniqlash mumkin. Rasmdan ko’ramizki E energiyaning berilgan
qiymatida ko’rilayotgan mexanik sistema uchun ikkita (− ∞, x ) va ( x , x )
2 3
taqiqlangan soha (E < U (x)) va ikkita (x1 , x2 )
va (x3 , ∞) ruxsat yetilgan soha
(E > U (x)) mavjud. Ruxsat yetilgan (x1 , x2 ) soha potensial o’ra, taqiqlangan
(x2 , x3 ) soha esa potensial to’siq deb ham yuritiladi. Mexanik sistemaning (x1 , x2 )
ruxsat etilgan sohadan (x3 , ∞) sohaga o’tishi unga qushimcha ∆T ≥ U − E kinetik
energiya berilishi shart. Klassik mexanika qonunlariga bo’ysunuvchi makroskopik obyektlar potensial to’siqni faqat oshib o’tishlari mumkin. Ularning potensial to’siqni teshib o’tishlari (2) energiyaning saqlanish qonuniga qat’iyan ziddir. Ammo kvant mexankasi qonunlariga bo’ysunuvchi mikro obyektlar uchun, ularning to’lqin xususiyatlari tufayli bunday o’tishlar bo’lishi mumkin. Bu hodisa tunnel effekti deb yuritiladi. Potensial energiya to’liq energiyaga teng bo’lgan, ya’ni
(5)
tengliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar burilish nuqtalari yoki to’xtash nuqtalari deyiladi. Bu nuqtalar ruxsat etilgan sohalar bilan taqiqlangan sohalarni ajratib turuvchi chegaralar bo’lib, ularda sistema tezligi o’z yo’nalishini o’zgartiradi. Agar ruxsat etilgan soha ikkita burilish nuqtasi bilan chegaralangan bo’lsa, harakat fazoning anna shu sohasida yuz beradi va bu sohadagi haraat finit harakat deb yuritiladi. Mexanik sistemaning har ikki tarafdan chegaralanmagan yoki faqat bir tarafdan chegaralangan sohalardagi harakati infinit harakat deyiladi, bunda zarra cheksizlikka ketishi mumkin. Xususan, bir o’lchamli potensial o’radagi finit
harakat tebranma harakat bo’lib, bunda sistema
x1 va x2
burilish nuqtalari
orasida davriy ravishda takrorlanuvchi harakat qiladi. Tebranish vaqti
x2 − x1
U (x)
oraliqni o’tish uchun ketgan vaqtdan ikki marta katta bo’ladi:
– a
x Bir o’lchamli mexanik sistemaning tebranish davri umumiy holda, sistema to’liq energiyasining
E funksiyasi bo’ladi.
Misol Energiyasi E , massasi m
U
bo’lgan zarra
0
potensial maydonda harakat qilsa, uning tebranish davrini toping.
Yechim. Potensial energiya U ( x) grafigini chizaylik.
x = 0
nuqtada
U (0) = −U 0 ,
x = ±a
nuqtada
U 0 (±a) = 0
bo’ladi. Zarra esa anna shu
potensial o’rada E
x2
energiya bilan harakat qilsin. Zarra davri kuyidagicha aniqlanadi:
x1 ≤ x ≤ x2
sohada harakatlanadi va tebranish
Bu integral chegaralarini U (x) = E tenglikdan topsak,
bo’ladi. (*) integralni
x = a
⋅ sin ϕ almashtirish o’tkazib yechamiz. U holda
yechiladi va tebranish davri quyidagiga teng bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
