|
Endi sistema 2 ta zarradan tashkil topgan holni qaraylik.
. .
Ularning massalari
m1 , m2
S -sistemadagi tezliklari
V1 ,V2
bo’lsin. Bu zarralar
impuls iva yig’indi kinetik energiyasini S-sistemada topaylik. S-sistemada birinchi zarra impulsi
~.
.
(8)
Bu yerda
yozamiz:
vc S-sistemaning S sistemadagi tezligi, (2) dan foydalanib (8) ni
~.
Bu yerda sistemaning keltirilgan massasi deyiladi. Xudi shu yul bilan ikkinchi zarra uchun impulsni topamiz:
(10)
~
Shunday qilib, S-sistemada ikala zarraning impulslari modul jihatidan o’zaro teng, yo’nalishlari qarama-qarshi bo’lar ekan. Har bir zarra impulsi molul jihatdan
bo’ladi,
zarraning nisbiy tezligi. S-sistemada yig’indi kinetik energiya
yoki
Agar zarralar o’zaro ta’sirda bo’lsa, S-sistemada to’liq mexanik energiya sistemaning ichki energiyasiga teng bo’ladi.
Nazorat savollari
Harakat tenglamalarini integrallash haqida ayting.
Potentsial to’ziq nima?.
11-ma’ruza: KULON MAYDONIDAGI HARAKAT, TRAYEKTORIYALARNI SINFLARGA AJRATISH.
REJA:
Bog’lanishlar xususida.
Konservativ va nokonservativ sistemalar. Mexanik o’xshashlik usuli.
Kulon maydoni.
Kulon maydonida trayektoriya tenglamasi.
Kepler qonunlari.
TAYANCH SO’Z VA IBORALAR: bog’lanishlar, konservativ va nokonservativ sistemalar. mexanik o’xshashlik usuli, Kulon maydoni, Kulon maydonida trayektoriya tenglamasi, Kepler qonunlari.
Markaziy kuch maydonida harakatni tekshirganimizda zarraning bu maydondagi potensial energiyasi r masofaga teskari proporsional bo’lgan holda
muhim ahamiyatga egadir. Bunday kuchlarga Nyutoncha butun olam tortilish kuchi, Kulon qonuni bo’yicha o’zaro ta’sirlashuvchi zaryadlangan zarralar o’rtasidagi kuch misol bo’la oladi. Birinchi kuch tortishuviga oid bo’lsa, ikkinchi kuch zarralar zaryad ishorasiga bog’liq holda yoki tortishuv, yoki itarishuvga mos keladi. Potensial energiyani
(1)
Ko’rinishda yozsak, α> 0 bo’lsa tortishuvni, α< 0 bo’lsa itarishuvni ifodalaydi.
Dastlab biz α> 0 holini ko’raylik. U holda «effektiv potensial energiya
(2)
Ko’rinishida yoziladi, uning grafigi rasmdagi ko’rinishda bo’ladi. Bu energiya
r → 0
da + ∞
ka intiladi,
r → ∞
da esa manfiy qiymatlar tomonidan nolga
yaqinlashadi. Masofaning
r0 qiyma-tida
Ueff
minimal qiymatga ega bo’ladi.
Bu qiymat
U e′ff = 0
shartidan topiladi:
(3)
(3) ni (2) ga qo’yamiz
(4)
Endi (2) grafigida zarra energiyasi E ning mumkin bo’lgan qiymatlarini gorizontal
chiziqlar bilan ko’rsatamiz. E > 0
0 > E > (Ueff )min
qiymatida zarra infinitli harakat qilsa, da finitli harakat qiladi.
Kulon maydonida trayektoriya tenglamasi. Kepler qonunlari.
Traektoriya tenglamasiga ifodani qo’yib, almashtirish o’tkazib integrallaymiz:
(5)
Bu yerda
(6)
Biz yechimni (6) bu ko’rinishda yozishimizdan maqsad shuki, u qutb koordinata boshi fokusida joylashgan konus kesimi tenglamasi hisoblanadi. Bu yerda
(7)
egrilik parametri, o’lchamsiz kattalik
(8)
esa uningekssentrisiteti deyiladi.
Endi mumkin bo’lgan turli xil xususiy hollarda qarab chikaylik.
Tortishuvga oid (α> 0 ) finitli harakat (E < 0) holini ko’raylik. Zarra energiyasi
intervalda joylashgan bo’ladi. Shuning uchun (8) dan
0 ≤ e < 1
qiymatlarni qabul
qiladi va trayektoriya ellips hisoblanadi. (6) ifodadan r ni topamiz qabul qilamiz:
ϕ0 = 0
deb
Agar ϕ= 0
bo’lsa,
r = rmax
= p /(1 + e) -perigeliy,
ϕ= π bo’lsa,
r = rmax
= p /(1 − e) -afeliy.
Ellipsning kichik va kata yarim o’qlari
tengliklardan topiladi va quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
(9)
(7), (8) ifodalardan foydalansak,
(10)
Bundan ko’ramizki, ellipsning katta yarim o’qi faqat energiyaga bog’liq impuls
momentiga bog’lik bo’lmaydi. Energiyaning minimal qiymatida esa e = 0 va
a = b , demak , impuls momentining berilgan qiymatda ellips aylanaga o’tadi, aylana radiusi mumkin bo’lgan eng kata qiymatga ega bo’ladi.
Saqlanuvchan impuls momenti
Trayektoriyaning bir-biriga cheksiz yaqin nuqtalari o’rtasida radius-vektorning hosil qilgan sektor yuzasi
orqali aniqlanadi. Agar bog’lasak
M 0 ni dS bilan
(11)
tenglikka ega bo’lamiz. Bu yerda dS
dt
sektoria tezlik deyiladi va u saqlanuvchan bo’ladi bir xil vaqt oralig’ida radius- vektorning chizgan yuzasi bir xil bo’ladi. (Keplerning ikkinchi qonuni hisoblanadi).
Bo’lganidan
Yoki
(12)
Demak, zarraning ellips bo’ylab aylanish davri to’liq energiyasiga bog’liq bo’lib, impuls momentiga bog’liq bo’lmaydi hamda davrlar va kata yarim o’qlar o’rtasida
dan
Munosabatga ega bo’lamiz. (Keplerning uchinchi qonuni).
Agar
E ≥ 0
bo’lsa, harakat infinitli bo’ladi,
E > 0
da ekssentrisitet
e > 1,
ya’ni trayektoriya kuch markazidan o’tuvchi giperboladan iborat bo’ladi, E = 0 da
esa
e = 1 -paraboladan iborat bo’ladi.
Endi zarra koordinatasining vaqtga bog’lanishining parametrik ko’rinishini
topamiz. Buning uchun t va r o’rtasida bog’lanishdan foydalanamiz:
(13)
Elliptik orbitalar holini qaraymiz. (13)ni a va e kattaliklar orqali ifodalaymiz:
almashtirish o’tkazsak, (14) quyidagi ko’rinishda yoziladi:
(15)
Vaqt koordinatasi boshlanishini tanlab olish yo’li bilan const ni nolga aylantirish
mumkin. Natijada r(t ) bog’lanishning parametrik ko’rinishini topamiz
Do'stlaringiz bilan baham: | 
