Reja Kirish I bob. Matematik kutilma haqida tushuncha

1-misol.Binomial qonun bilan taqsimlangan tasodifiy miqdoming
matematik kutilmasini va dispersiyasini toping.
Yechish%.bilan A hodisaning n ta o'zaro bog‘liqmas sinovlarda
ro‘y berish sonini belgilasak,
=P(℥= k)=C
o‘rinlidir. Matematik kutilma (o‘rta qiymat) ta’rifiga asosan,
M℥ = ℥ =k) = = np * =np* =np
Dispersiyani D℥= M formulasidan foydalanib topamiz:
D℥ = C * - = n*p [ (n-1) *p* + ]- = n * p(( n-1 ) * p+1 )- =npq.
Masala. X tasodifiy miqdor
P(x)=
Zichlik funksiya berilgan .MX , DX ni toping.
Yechish:
MX= *
M = * (
DX= M – ( M = 2,69-
Masala .Agar X ning matematik kutilishi MX=7 va Y ning matematik kutilishi MY=5 ma’lum bo’lsa, Z=3X+8Y tasodifiy miqdorning matematik kutilishini toping.
Yechish.Matematik kutishning xossalaridan foydalanib (yig’indining matematik kutilishi qo’shiluvchilar matematik kutilishlari yig’indisiga teng o’zgarmas ko’paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin) M (3X) + M( 8Y ) = 3MX + 8MY = 21 +40 = 61 ekanligini topamiz.
Biz uzliksiz tasodifiy miqdorni taqsimot funksiyasi orqali aniqlagan edik. Biz bu aniqlash yagona bo’lmay , uzluksiz tasodifiy miqdorni ehtimollikning zichlik funksiyasi orqali ham aniqlash mumkin.
Ta’rif:
Agar ξ uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
(x) - differensiallanuvchi bo’lsa, u holda uning ehtimolligining zichlik funksiyasi deb taqsimot funksiyasidan olingan hosilaga aytamiz:
(x) (6)

Demak, taqsimot funksiyasi zichlik funksiyaning boshlang’ichi ekan. Zichlik funksiyasining asosiy xossalari:

Ixtiyoriy x-lar uchun (x)≥0 va
P( ≤ ) = (x)dx (7)
Isboti;
(x) funksiya kamayuvchi bo’lgani uchun :
(7) tenglik quyidagi munosabatlardan kelib chiqadi:
P( ≤ ) = ( ) - ( ) = (x)| (x) dx
(6) Nyuton- Leybnits formulasiga asosan .
Teorema2:
Agar (x) - zichlik funksiyasi bo’lsa u holda (x) dx=1
Isboti:
= (x) dx* (b) - (a) ]=
= (b)- (a)=1
Teorema: Xosmos integral ta’rifi va Nyuton – Leybnit formulasiga binoan taqsimot funksiyasining xossalaridan quyidagini olamiz:
(t) dt = (x) - (a))= (x)-
- (a) = (x)
Misol:
ξ tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi (x)= berilgan . a – sonini aniqlang va taqsimot funksiyasining ko’rinishini toping .
Yechish:
a-parametrini topish uchun Teorema 2 ni qo’llaymiz:
I= = = a* arctgx | a* - a* (- ) =a*
Bundan esa a= kelib chiqadi . Taqsimot funksiyani toppish uchun teoremani qo’llaymiz:
(x)= = = arctg t | arctgx - ( - )=
= arctg x +
Misol:
ξ - tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi
=
Berilgan , a ni toping va (x) – ni hisoblang.
Yechish:
I= = + = | +
+ ] = = (0+ )=
Bundan a=4 kelib chiqadi. (x) ni topamiz : x≤1 bo’lganda esa
(x)= = =4 [ - )] 1-
Zichlik funksiyaga ega bo’lganda uzluksiz tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmalari aniq integral orqali aniqlanadi:
Ta’rif:
ξ uzluksiz tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi ga teng bo’lsa , uning matematik kutilmasi quyidagi aniq integralga teng bo’ladi:
M(ξ) = (8)
Va dispersiyasi quyidagicha aniqlanadi:
Dξ = M( = (9)
Diskret tasodifiy miqdorlarda aniqlangan barcha hisoblash formulalarini uzluksiz tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalarini hisoblashda ham saqlanadi:

1. 
   M( aξ + b) = a* Mξ +b (10)
   
2. 
   M(ξ + η) = Mξ + Mη (11)
   
3. 
   D(aξ + b) = D ξ (12)
   
4. 
   Dξ = M – (13)
   

(10) – tenglikni isbotlashdan oldinξ va aξ + b tasodifiy miqdorlarning
zichlik funksiyalari va taqsimot funksiyalari orasidagi bog’lanishini o’rnatamiz.
Teorema:
Agar ξ - uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi (x) va zichlik funksiyasi (x) bo’lsa , u holda aξ+b tasodifiy miqdor uchun zichlik funksiyasi quyidagicha bo’ladi:
(x) = (
taqsimot funksiyasi esa
(x)= ( , a
(x) = 1- ( , a
Isboti :
1)a
(x)= (x) =P ( ξ≤ )= (
(10) :aξ + b ≤ x va ξ≤ lar teng kuchli bo’lgani uchun
Va hodisalar teng bo’ladilar. Teng hodisalarning ehtimollari ham teng kuchli bo’ladilar.
(11) : miqdorning ta’rifiga ko’ra tenglik o’rinli.
(x) = (x)=( ( ) = P ( ξ≤ ) = 1- (
(10): a>o bo’lgani uchun aξ + b ≤ x tengsizlik bilan ξ≤ tengsizlik bilan teng kuchli bo’ladilar va shuning uchun hodisalar teng bo’ladilar.
(11): = va (x) taqsimot funksiyasi o’ngdan uzluksiz funksiya bo’lgani uchun qattiy tengsizlikni noqat’iy tengsizlik bilan almashtirish mumkin .
Misol.λ– parametrli ko’rsatkichli taqsimotga ega bo’lgan ℥ tasodifiy miqdorning yuqori tartibli momentlari hisoblansin.
Yechish.℥ tasodifiy miqdorning zixhlik funksiyasi
(x) =
℥ ning k – tartibli momentini teoremadagi formuladan foydalanib topamiz:

Agar k musbat butun son bo’lsa , va =