Reja Kirish I bob. Matematik kutilma haqida tushuncha

Reja
Kirish..…………………………………………………..3
I BOB.Matematik kutilma haqida tushuncha
1.1-§. Matematik kutilma….……………………………………………….4
1.2-§.Matematik kutilmaning xossalari…..………………………………………..6
II BOB.Shartli Matematik kutilma
2.1-§.Matematik kutilma haqida Lyapunov tengsizligi……………15

Xulosa……………………………………………………………19

Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………20


KIRISH
Tasodifiy miqdor haqida to’liq ma’lumotni uning taqsimot funksiyasi yordamida olish bizga ma’lum. Haqiqatdan ham taqsimot funksiya tasodifiy funksiyasi yordamida olish mumkinligi bizga ma’lum. Haqiqatdan ham , taqsimot funksiya tasodifiy miqdorning qaysi qiymatlarni qanday ehtimolliklar bilan qabul qilishini aniqlashga imkon beradi. Lekin ba’zi hollarda tasodifiy miqdor haqida kamroq ma’lumotlarni bilish 0ham yetarli bo’ladi. Ehtimolliklar nazariyasi va uning amilyotdagi tadbiqlarida tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyalari orqali ma’lum qoidalar asosida topiladigan ba’zi o’zgarmas sonlar muhim rol o’ynaydilar . Bunday sonlar orasida tasodifiy miqdorlarning umumiy miqdoriy xarakteristikalarini bilish uchun matematik kutilma, dispersiya va turli tartibdagi momentler juda muhimdir.
Tasodifiy miqdorning biz dastlab tanishadigan asosiy sonlI xarakteristikasi uning matematik kutilmasidir.

I BOB.Matematik kutilma haqida tushuncha
Matematik kutilma

ξ diskret tasodifiy miqdori bo’lib, uning qabul qilinish imumkin bo’lgan ma’nolari , …., bu ma’nolarni qabul qilish ehtimolligi o’xshash , ,

bo’lsin.
Tasodifiy ξ diskret matematik kutilmasi deb ushbu ( uni Mξ yoki mξ orqali belgilaydi )
Mξ = (1)
Soniga aytiladi.
Diskret tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining soni cheksiz bo’lishi ham mumkin. Bu holda
Mξ = (2)
Bunda ( 2) qatorni absolyut yaqinlashuvchi deb faraz qilamiz.
Misoli. Tasodifiy ξ miqdorni bo’lishtirish qatori bilan berilgan. Uning matematik kutilmasini toping.

Ξ	1	2	5
P	0.3	0.5	0.2

Yechilishi: (1) formula bo’yicha

Mξ=1*0.3+2*0.5+5*0.2=2.
Bo’lishtirish zichligi f(x) bo’lgan uzluksiz tasodifiy ξ – miqdorining matematik kutilmasi deb,
Mξ= (3)
Soniga aytiladi. Biz bu yerda
dx
Integralin bor deb hisoblaymiz.
Bo’lishtirish funksiyasi F(X) bo’lgan xoxlagan tasodifiy ξ miqdori uchun matematik kutilmani quyidagicha yozishga bo’ladi:
(4)
Mumkin bo’lgan ma’nolarini (a,b) oralig’iga tegishli uzliksiz tasodifiy ξ miqdorining matematik kutilmasi
Mξ= (5)
Formulasi bilan aniqlanadi.
Misol. Tasodifiy ξ miqdori [0;1] oraliqda f(x)=4 zichlik bilan berilgan, bu kesindidan tashqari f(x)=0 . Mξ ni toping.
Yechilishi. (5) formula bo’yicha
Mξ = =1
Matematik kutilmaning ehtimollik ma’nosin ko’rib chiqaylik. Tasodifiy ξ miqdori ustida n sinov o’tkazilgan bo’lsin. Sinov natijalari quyidagicha tablitsada keltirilgan:

			…..
			...

Yuqoridagi qatorda ξ miqdorining bog’langan miqdorlari, quydagi qatorga mos ravishlarda chastotalari ko’rsatilgan, ya’niy marta, martava martabaholanadi (

orqali baholangan hamma qiymatlarning arifmetik o’rtasini belgilab olamiz. Unda
= =
Bu yerda …, - mos ravishda qiymatlari solishtirmali chastotalari. Sinovlar soni yetarli katta bo’lganda ≈ , … , bo’ladi. Shuning uchun
=Mξ
Ya’ni tasodifiy ξ miqdorining matematik kutilma qiymatan bog’langan qiymatlarning arifmetik o’rtasiga teng.
Agar tasodifiy ξ qiymati matematik kutilma qiymatlarini tengdek ehtimollik bilan qabul qilsa, unda
=
Endi matematik kutilmaning bazi bir xossalarini qarab chiqaylik. Xossalarining isbotlashini diskret tasodifiy miqdorlar uchun keltiramiz. Uzliksiz tasodifiy qiymatlar uchun ham shunga o’xshash isbotlanadi.
Misol. parametrli normal qonun bilan taqsimlangantasodifiymiqdorning matematikkutilmasini toping.
Yechilishi. Ta’rifga ko’ra

Demak, -normal qonun bilan taqsimlangan miqdorlarning matematik kutilmasi parametrga teng ekan.

iymatlarning matematik kutilmasi shu doimiy o’ziga teng, ya’niy
MC=C
Isbotlanishi. Doimiy C miqdorin birga teng ehtimollik bilan faqat birgina C qiymatin qabul qiladigan diskret qiymati deb qarashga bo’ladi, shuning uchun ham
MC=C*l=C
. Doimiylikni matematik kutilma belgisining oldiga chiqarib yozishga bo’ladi.
Ya’niy
M(C*ξ)= C*M*ξ
Isbotlanishi.Cξni tasodifiy qiymat deb qarashga bo’ladi, shunda
M(C*X)= C ) =C =C*Mx
M=C*Mx
. Ikki tasodifiy qiymatlarning matematik kutilmasi, qo’shiluvchilarning yig’indisiga teng:
M(ξ+η)=Mξ+Mη
Isbotlanishi:Haqiqatdan ham
M(ξ+η)= + ) = + =
= + = =Mξ+Mη
Bunda
=p(ξ= , η= )
Quyidagi natiyjaning to’griligini isbotlash hechqanday qiyinchilik tug’dirmaydi.
1-natija.Tasodifiy , ,… , qiymatlarining matematik kutilmasi ularning matematik kutilmalarining yig’indisiga teng:
M( + +… + )=M + M +… +M
2-natija. Ikki tasodifiy ayirmasining matematik kutilmalarining ayirmasiga teng, ya’ni
M(ξ-η)=Mξ-Mη
3-natija. Tasodifiy qiymati bilan doimiy miqdorning yig’indisi ( ayirmasi) matematik kutilmalari shu tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi bilan shu doimiy yig’indisiga teng , ya’ni
M(ξ±C)=Mξ±MC
4-natija. Agar η=aξ+b bo’lsa, unda =M(aξ+b)=a +b , bunda a, b –doimiy sonlar.
ikki tasodifiy miqdorning ko’paytmasining matematik kutilmasi ularning matematik kutilmalarining ko’oaytmasiga teng, ya’niy
M(ξη)=
Isbotlanishi. Haqiqatdan ham
M(ξη)= = =
=( )( )=Mξ*Mη
5-natija.Agar , ,… , tasodifiy miqdorlari juft-jufttan mustaqil bo’lsa, unda
M( , ,… , )= M , ,… ,
ξ tasodifiy miqdor , Mξ bo’lsa uning matematik kutilmasi bo’lsin.
ξ-Mξ ayirmaga tasodifiy miqdorning o’zining matematik kutilmasidan ortib ketishi deb ataladi. Ortib ketishning matematik kutilmasi nolga teng:
M(ξ-Mξ ) =0
Shunday ikkita turli tasodifiy miqdor ko’rsatish mumkinki, ularning matematik kutilmasi bir xil bo’ladi. Masalan
X:-0.01 0.01 Y:-100 100
P:0.5 0.5 P:0.5 0.5
M(X)=-0.01*0.5+0.01*0.5=0;
M(Y)=-100*0.5+100*0.5=0
Demak, tasodifiy miqdorning faqatgina matematik kutilmasini bilish bilan uni xarakterlab bo’lmas ekan. Shuning uchun ham matematik kutilmadan tashqari tasofidiy miqdor qabul qiluvchi qiymatlarning matematik kutilma atrofida sochilish darajasini aniqlashimiz kerak bo’ladi.

Ta’rif:
X- diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi (tarqoqligi) deb quyidagi matematik kutilmaga aytiladi.

D(X)= M
X- tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan bo’lsin:

X			…
P			…

Butaqsimotqonunigaqarab - tasodifiymiqdorningtaqsimotqonuniniyozishmumkin:

				………….
P:				…………

Ta’rif bo’yicha :
D(x)= = * + * +…+ * +...+
Amalda dispersiyani hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalanishadi:
D(X)=M( )-
Dispersiyaning xossalari:
1)D(C)=0
2)D(CX)= D(X)
3)Agar X va Y bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar bo’lsalar, u holda
D(X+Y)= D(X) + D(Y)
Bundan D(C+X)= D(X) kelib chiqadi.
4) X va Y lar bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar bo’lsalar , u holda
D(X-Y) = D(X) +D(Y)
Misol: O’z aro bog’liqsiz n-ta tajribalarning Bernulli sxemasidagi A hodisasining ro’y berishlar soni µ - diskret tasodifiy miqdorning dispersiyasi:
D(µ )= n*p*q p=P(A) q=1-p
Dispersiyadan olingan arifmetik kvadrat ildizga o’rtaga kvadratik chetlanish deb ataladi va Ϭ (µ )bilan belgilanadi:
Ϭ (µ ) =