Bajardi: Eshova maftuna

MUSTAQIL ISH



MAVZU: Erkli sinovlar ketma– ketligi va Bernulli sxemasi.

BAJARDI: Eshova maftuna

Erkli sinovlar ketma – ketligi va Bernulli sxemasi.


Reja:

1. Bernulli teoremasi.
2. Puasson teoremasi.
3. Muavr-Laplasning teoremalari.
4. Eng katta ehtimollik son.

Ta’rif.
Takrorlanadigan sinovlarda har birining u yoki natijasining ehtimolligi boshqa sinovlarda qanday natijalar bo‘lganligiga bog‘liq bo‘lmasa, ular bog‘liqmas sinovlar ketma-ketligini hosil qiladi deyiladi.

n ta bog‘liqmas tajribaning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p ga teng bo‘lib, bu ehtimol tajriba o‘tkazish davomida o‘zgarmasin. n ta bog‘liqmas tajribada A hodisaning k marta ro‘y berish ehtimolini Pn(k) deb belgilaylik.

Bernulli teoremasi. n ta bog‘liqmas tajribaning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas bo‘lsa, u holda  bo‘ladi.

Pn(k) - A hodisaning k marta ro‘y berish ehtimoli, n -tajribalar soni, p - hodisaning bitta tajribada ro‘y berish ehtimoli, q - hodisaning bitta tajribada ro‘y bermasligi ehtimoli, k - n ta tajribada A hodisaning ro‘y berishlar soni

Puasson teoremasi. n ta bog‘liqmas tajribaning har birida A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p nolga shunday intilsaki,natijada  bo‘lsa, u holda


bo‘ladi.

Tajribalar soni n yetarlicha katta bo‘lganda Pn(k) ehtimollarni Bernulli formulasi bo‘yicha hisoblash katta qiyinchiliklarga olib keladi. Bunday xollarda hisoblashni osonlashtiruvchi formulalarga (xatto ular izlanayotgan ehtimollning taqribiy qiymatini bersa ham) ehtiyoj tug‘iladi. Bunday formulalar asimtotik formulalar deyiladi. Quyida shunday formulalar bilan tanishamiz.

Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli p (0
tajribada hodisaning k marta ro‘y berish ehtimoli (n yetarlicha katta bo‘lganda) taqriban  ga teng. Bu yerda, 

- funksiyaning qiymatlar jadvali 1-ilovada keltirilgan (x) juft funksiya, demak  . Bu Laplasning lokal teoremasi deyiladi.
1-misol. Agar omborlarda saqlanayotgan mevaning buzilishlari ehtimoli 0,25 ga teng bo‘lsa, 243 t mevaning rosa 70 t sini buzilish ehtimolini toping.
Yechish. Masala shartiga ko‘ra n=243; k=70; p=0,25; q=0,75 ga teng. n yetarlicha katta bo‘lgani uchun Laplasning lokal teoremasidan foydalanamiz.


Bu yerda

x ning qiymatini topamiz:

Jadvaldan (1,37)=0,1561 ni topamiz. Buni Laplasning lokal formulasiga qo‘yib  ni topamiz.

Muavr-Laplasning integral teoremasi.

Har birida hodisaning ro‘y berish ehtimoli p (0

tajribada hodisaning kamida  marta va ko‘pi bilan  marta ro‘y berish ehtimoli (n yetarlicha katta bo‘lganda) taqriban  ga teng. Bu yerda  ,  .  - funksiya Laplas funksiyasi deyiladi.

x ning  musbat qiymatlari uchun Laplas funksiyasining qiymatlari 2-ilovadagi jadvalda keltirilgan. x>5 bo‘lsa, Ф(x)=0,5 deb olinadi. Ф(x) funksiya toq funksiyadir. Shuning uchun manfiy qiymatlarda buni hisobga olish kerak bo‘ladi.

2-misol. Fermer xo‘jaliklariga o‘rnatilgan elektr hisoblagichlarning buzilmasdan ishlash ehtimoli o‘zgarmas bo‘lib, p=0,8 ga teng. O‘rnatilgan 100 dona hisoblagichdan kamida 75 tasi va ko‘pi bilan 90 tasining buzilmasdan ishlash ehtimolini toping.

Yechish. Masala shartiga ko‘ra n=100; k1=75; k2=90; p=0,8; q=0,2 ga teng. n yetarlicha katta bo‘lgani uchun Laplasning integral teoremasidan foydalanamiz.  larni hisoblaymiz:

Laplas funksiyasining toq ekanligidan quyidagini hosil qilamiz:

P100(75;90)=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=Ф(2,5)+Ф(1,25). Jadvaldan Ф(2,5)=0,4938; Ф(1,25)=0,3944 ni topamiz. Laplasning integral teoremasiga ko‘ra biz qidirayotgan ehtimollik P100(75;90)= 0,4938+0,3944=0,8882 ga teng bo‘ladi.

Eslatma. n≤20 da Bernulli formulasi, n>20, p0,02 da Puasson formulasi, n>20, 0,02< p<0,98 da Muavr - Laplas formulalari qo‘llaniladi.

Hodisa ro‘y berishining eng katta ehtimolli soni.

Aniqlangan p ehtimolda Pn(k) ehtimol k ning funksiyasi ekani ravshan. Agar ihtiyoriy uchun  ;  bo‘lsa, u holda son hodisa ro‘y berishining eng katta ehtimolli soni deyiladi.
Eng katta ehtimolli son   quyidagi qo‘sh tengsizlikdan aniqlanadi.



bu yerda:
a) agar np-q son kasr bo‘lsa, u holda bitta eng katta ehtimolli son  mavjud;
b) agar np-q son butun bo‘lsa, ikkita eng katta ehtimolli sonlar   va  mavjud;

c) agar np butun son bo‘lsa,  bo‘ladi.

Izoh. p yetarlicha katta bo‘lganda  ning qiymati  dan aniqlanadi.
Mustahkamlash uchun savollar:
1. Binomial sxema deganda nimani tushunasiz?
2. Erkli tajribalar qanday aniqlanadi?
3. Bernulli teoremasi qachon qo‘llaniladi?
4. Puasson teoremasini ta’riflang.
5. Muavr-Laplasning lokal teoremasi qanday shartlarda bajariladi?
6. Muavr-Laplasning integral teoremasi qanday hollarda qo‘llaniladi?
7. Eng katta ehtimollik son qanday topiladi?

8. Bog‘liqmas sinovlar ta’rifini ayting.

9. Puasson teoremasi qanday shartlarda bajariladi?
Erkli sinovlar ketma-ketligi. Bernulli formulasi. Eng ehtimolli son.

Agar bir nechta sinov o’tkazilayotgan bo’lib, har bir sinashda A hodisaning ro’y berish ehtimoli boshqa sinov natijalariga bog’liq bo’lmasa, u holda bunday sinovlar A hodisaga nisbatan erkli sinovlar deyiladi.

Faraz qilaylik, n ta erkli takroriy sinovning har birida a hodisaning ro’y berish ehtimoli P, ro’y bermaslik ehtimoli q=1-P bo’lsin. Shu n ta sinovdan A hodisaning (qaysi tartibda bo’lishidan qat’iy nazar) rosa k marta ro’y berish ehtimoli P_n(k) ushbu Bernulliy formulasi bilan hisoblanadi.

A hodisaning o’tkazilayotgan n ta erkli takroriy sinov davomida kamida k marta ro’y berish ehtimoli

P_n(k)+P_n(k+1)+…+P_n(n)

ko’pi bilan k marta ro’y berishi ehtimoli esa

P_n(0)+ P_n(1)+…+ P_n(k)

formulalar bilan hisoblanadi.

Agar n ta erkli sinovda hodisaning k₀ marta ro’y berish ehtimoli sinovning boshqa mumkin bo’lgan natijalari ehtimollaridan kichik bo’lmasa, u holda k₀ soni eng ehtimolli son deb ataladi va u quiyadgi qo’sh tengsizlik bilan aniqlanadi:

np – q < k₀ < np + p.

Eng ehtimolli son k₀ ushbu shartlarni qanoatlantiradi:

1. agar np – q kasr son bo’lsa, u holda bitta eng ehtimolli k₀ son mavjud bo’ladi;

   
   

2. agar np – q butun son bo’lsa, u holda ikkita k₀ va k₀ +1 eng ehtimolli sonlar mavjud bo’ladi;

   
   

3. agar np butun son bo’lsa, u holda eng ehtimolli son k₀ =np bo’ladi.