Reja : Kirish. I bob. Vektor fazolar

Normalangan fazoning qism fazosi
Biz yuqorida chiziqli fazoning qism fazosi tushunchasini kiritgan edik, ya'ni agar ixtiyoriy elementlar va ixtiyoriy ,  sonlar uchun bo‘lsa, bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plam, qism fazo deyilar edi.
Normalangan fazolarda yopiq qism fazolar, ya'ni barcha limitik nuqtalarini o‘zida saqlovchi qism fazolar muhim ahamiyatga ega. Chekli o‘lchamli normalan- gan fazolarda har qanday qism fazo yopiqdir.Cheksiz o‘lchamli normalangan fazo-larda qism fazolar doim yopiq bo‘lavermaydi.Quyida keltiriladigan misol fikrimiz-ni tasdiqlaydi.
2.14-misol. Uzluksiz funksiyalar fazosi C[a,b] dagi barcha ko‘phadlar to‘p-lami qism fazo tashkil qiladi, lekin u yopiq emas. Bunga ishonch hosil qilish uchun

ko‘phadlar ketma-ketligini qaraymiz. Ravshanki, fundamental ketma-ketlik bo‘lib, uning limiti ga teng. funksiya esa ko‘phad emas.
Normalangan fazolarda asosan yopiq chiziqli qism fazolarni qaraymiz.
2.6-ta'rif. Agar L normalangan fazoning qism to‘plamida ixtiyoriy elementlari va ixtiyoriy , sonlar uchun bo‘lsa chiziqli ko‘pxillilik deyiladi. Agar qism to‘plam yopiq chiziqli ko‘pxillilik bo‘lsa, qism to‘plam L ning qism fazosi deyiladi.
2.15-misol. Uzluksiz funksiyalar fazosi C[1,1] dagi barcha toq funksiyalar to‘plami [1,1] chiziqli ko‘pxillilik tashkil qiladi va u yopiq.Haqiqatan ham toq funksiyalar ketma-ketligi biror xC[1,1] elementga yaqinlashsin. U holda



II BOB. Ortogonallashtirish va ortonormallashtirish jarayon
2.1-§. Ortogonal va ortonormal tizimlar.
Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi ixtiyoriy ikkita nol’dan farqli x va y vektorlar orasvdash burchak ta`rifini kiritishga imkon beradi:

chunki Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga asosan

Yunaltirilgan kesmalar fazosida burchakning bu ta`rifi burchakning oddiy ta`rifiga aylanadi.
T a ` r i f. Agar x va y vektorlar orasidagi burchak ga teng bo`lsa, bu vektorlar ortogonal deyiladi.
Agar x va y vektorlar ortogonal bo`lsa, u xolda . Aksincha, nol’dan farqli x va y vektorlar uchun bo`lsa, ular ortogonal.
Demak, yuqoridagi ta`rifni quyidagicha aytsa xam bo`ladi. Agar nol’dan farqli x va y vektorlar uchun bo`lsa, ular ortogonal deyiladi.
Evklid fazosidagi vektorlar tizimiga kiruvchi xar qanday ikkita vektor ortogonal bo`lsa, bu tizim ortogonal deyiladi. Agar ortogonal tizimga kiruvchi xar bir vektorning uzunligi birga teng bo`lsa, bu tizim ortonormal deyiladi. Xar qanday ortogonal tizimni, undagi xar bir vektorni uzunligiga bo`lab, ortonormal tizimga aylantirish mumkin.
Misol. ko`ramiz. evklid fazosida vektordan iborat ushbu

vektorlar tizimi ortogonal, chunki xar qanday butun k va m lar uchun




Xar bir vektorni uning uzunligiga bo`lib, ushbu

ortonormal tizimni olamiz.