Reja : Kirish. I bob. Vektor fazolar

2.7-misol. fazolarda x elementning normasi quyidagicha kiritiladi:

2.8-misol. M[a,b] - bilan [a,b] kesmada aniqlangan barcha chegaralangan funksiyalar to‘plamini belgilaymiz. Bu to‘plam odatdagi funksiyalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Bu fazoda aniq-langan

funksional norma shartlarini qanoatlantiradi va M[a,b] chiziqli normalangan fazo bo‘ladi.
2.9-misol. bilan [a,b] kesmada aniqlangan n marta uzluksiz dif-ferensiallanuvchi funksiyalar to‘plamini belgilaymiz. to‘plam odatdagi fun-ksiyalarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi. Bu fazoda aniqlangan.

funksional normaning 1-3 shartlarini qanoatlantiradi.
2.10-misol. [a,b] kesmada aniqlangan o‘zgarishi chegaralangan funksiyalar fazosi V[a,b] ni qaraymiz. Bu fazoda

funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi va V[a,b] chiziqli normalangan fa-zo bo‘ladi.
X chiziqli normalangan fazoda ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
2.3-ta'rif. Biror x X va ixtiyoriy   0 uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha larda tengsizlik bajarilsa, ketma-ketlik x X elementga yaqinlashadi deyiladi.
2.4-ta'rif. Agar ixtiyoriy   0 son uchun shunday mavjud bo‘lib, barcha va p N larda tengsizlik bajarilsa, - fun-damental ketma-ketlik deyiladi.
Yechish: C[1;1] fazo to‘la normalangan fazo bo‘lganligi uchun ketma-ketlikning fundamentalligidan uning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.C[1;1]
fazodagi yaqinlashish tekis yaqinlashishni ifodalaganligi uchun ketma-ketlik-ning limiti ham uzluksiz bo‘lishi kerak. Qaralayotgan ketma-ketlikning limiti uz-luksiz emas. Shuning uchun qaralayotgan ketma-ketlikning fundamental emasligini ko‘rsatishga harakat qilamiz. Buning uchun shunday soni mavjud bo‘lib, is-talgan n N uchun undan kata va shunday sonlari mavjud bo‘lib, tengsizlik o‘rinli ekanligini ko‘rsatish kerak. va har bir n N dan katta biror natural son uchun deb olamiz. Ixtiyoriy uchun

tengsizlikga ega bo‘lamiz. Bu tengsizlikdan bo‘lganida ushbu

tengsizlik kelib chiqadi. Bu esa ketma-ketlikning fundamental emasligini ko‘r-satadi.
2.5-ta'rif. Agar X chiziqli normalangan fazodagi ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda X to‘la normalangan fazo yoki Banax fazosi deyiladi.
2.12-misol. fazolarni to‘lalikka tekshiring
Yechish: To‘la metrik fazolar mavzusidan ma'lumki lar to‘la metrik fazolar edi. Shuning uchun ular to‘la normalangan fazolar, ya'ni Banax fazolari bo‘ladi.
to‘la bo‘lmagan metrik fazo edi. Shuning uchun to‘la bo‘l-magan normalangan fazoga misol bo‘ladi.
2.13-misol. Normalangan fazoda sharning qavariq ekanligini isbot-lang.
Yechish: shardan ixtiyoriy x, y elementlarni olaylik. U holda va tengsizliklari o`rinli bo`ladi. Natijada, har bir  0,1 uchun


Demak, , ya’ni qavariq to`plam