Reja : Kirish. I bob. Vektor fazolar

1.3-misol. Bu yerda ham element-larni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari (1.1) va (1.2) tengliklar ko‘rinishida aniqlanadi . - to‘plam kompleks chiziqli fazo bo‘ladi va u - o‘lchamli kompleks chiziqli fazo deb ataladi.
1.4-misol. kesmada aniqlangan uzluksiz funksiyalar to‘pla-mi. Funksiyalarni qo‘shish va funksiyani songa ko‘paytirish amallari mos ravishda

va
ko‘rinishda aniqlanadi. (1.3) va (1.4) tengliklar bilan aniqlangan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, to‘plam chiziqli fazo tashkil qiladi.
1.5-misol. kvadrati bilan jamlanuvchi ket-ma-ketliklar to‘plami. Bu yerda elementlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish amal-lari quyidagicha aniqlanadi:


Yig‘indi ekanligi tengsizlikdan kelib chiqadi.(1.5) va (1.6) tengliklar bilan aniqlangan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, - to‘plam kompleks chiziqli fazo bo‘ladi.
1.6-misol. nolga yaqinlashuvchi ketma-ket-liklar to‘plami. Bu to‘plamda ham qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari (1.5) va (1.6) tengliklar ko‘rinishida aniqlanadi va ular chiziqli fazoning 1-8 aksiomalarini qanoatlantiradi. Demak, - to‘plam chiziqli fazo bo‘ladi.
1.7-misol. yaqinlashuvchi ketma-ketliklar to‘plami. Bu to‘plam ham 1.5 - misolda kiritilgan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi.
1.8-misol. L  m - barcha chegaralangan ketma-ketliklar to‘plami. Bu to‘p-lam ham 1.5-misolda kiritilgan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazo tashkil qiladi.
1.2-ta’rif. Bizga L va L* chiziqli fazolar berilgan bo‘lsin. Agar bu fazolar o‘rtasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lib,
, va
Ekanligidan
va , ( ixtiyoriy son)
ekanligi kelib chiqsa, u holda L va L* chiziqli fazolar o‘zaro izomorf fazolar de-yiladi.
Izomorf fazolarni aynan bitta fazoning har xil ko‘rinishi deb qarash mumkin.
1.3-ta’rif. Agar L chiziqli fazoning elementlar sistemasi uchun hech bo‘lmaganda birortasi noldan farqli bo‘lgan sonlar mavjud bo‘lib,

tenglik bajarilsa, u holda elementlar sistemasi chiziqli bog‘langan deyi-ladi. Aks holda, ya'ni (1.7) tenglikdan

ekanligi kelib chiqsa, elementlar sistemasi chiziqli bog‘lanmagan yoki chiziqli erkli deyiladi.
Agar cheksiz elementlar sistemasining ixtiyoriy chekli qism sis-temasi chiziqli erkli bo‘lsa, u holda sistema chiziqli erkli deyiladi.
1.4-ta’rif. Agar L chiziqli fazoda n elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo‘lib, bu fazoning ixtiyoriy n 1 ta elementdan iborat sistemasi chiziqli bog‘lan-gan bo‘lsa, u holda L ga n - o‘lchamli chiziqli fazo deyiladi va dim L  n deb yo-ziladi. n - o‘lchamli L chiziqli fazoning ixtiyoriy n ta elementdan iborat chiziqli erkli sistemasi shu fazoning bazisi deyiladi.
1.5-ta’rif. Agar L chiziqli fazoda ixtiyoriy n N uchun n elementli chiziqli erkli sistema mavjud bo‘lsa, u holda L cheksiz o‘lchamli chiziqli fazo deyiladi va dim L   ko‘rinishda yoziladi.
va fazolar n -o‘lchamli chiziqli fazolardir. L  C[a,b] fazodan bosh-lab 1.4-1.8 misollarda keltirilgan barcha fazolar cheksiz o‘lchamli fazolardir. Masalan, fazoda

sistema cheksiz chiziqli erkli sistemaga misol bo‘ladi.