Referat mavzu. Matritsa ustida almashtirishlar toshkent 2016

3.2. Matritsani LU yoyish

Chiziqli algebrada matritsalarning turli yoyilmalari keng qo‘llaniladi.
Matrisani yoyish deb, uni biror xossaga (masalan, ortogonallik, simmetriklik, diagonallik xossasiga) ega bo‘lgan ikki va ikkidan ortiq martitsalar ko‘paytmasi shaklida ifodalashga aytiladi. Bunday yoyishlardan biri matritsani LU yoyish hisoblanadi.
Matritsani LU yoyishda mn o‘lchamli A matritsa A LU shaklda ifodalanadi, bu yerda Ldiagonal elementlari birlardan iborat bo‘lgan mm o‘lchamli quyi uchburchak (Lower-triangular) matritsa; U  mn o‘lchamli yuqori uchburchak (mn da trapetsiya) (Upper-triangular) matritsa ⁸. Masalan,
1 0 0 0  * * * *
   
A  _** 1* 10 00^00 0 *0 * **.
   
* * * 1_ _0 0 0 0 0_
Matritsaning LU yoyilmasi yana matritsaning LU faktorizasiyasi deb ataladi. Matritsaning LU yoyilmasidan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishda va teskari matritsani topishda foydalaniladi.
mn o‘lchamli A matritsa A LU shaklga keltirish (LU yoyish) umuman
olganda A matritsaning satrlariga noldan farqli songa ko‘paytirilgan boshqa

A matritsani LU yoyish algoritmi 1^o. A matritsa satrlarida ketma-ket elementar almashtirishlar bajariladi va U shaklga keltiriladi; 2^o. Satrlarda bajarilgan elementar almashtirishlar ketma-ketligi asosida L yozuv hosil qilinadi va bu yozuvda barcha diagonal elementlar ustunlarni bo‘lish orqali birlarga aylantiriladi.

satrni qo‘shish orqali quyidagi tartibda amalga oshiriladi.

 2  3.5-misol. A  ^^2^4   6 

4 5 5 0

1 3  4 7

5 8 1  3

 2  1  matritsani LU yoying. 8   1 

Yechish. Matritsa satrlarida ketma-ket elementar almashtirishlar bajaramiz:

2 4 2 6

3 9

_4 1 5 2 02 4 11 52 32_
A_55 34 18 1₈~ 03 4 10~
 
0 7 3 1_ _0 12 4 12 5


2  0

4 3

1 1

5 2

2 2   3 0

4 3

1 1

5 2

2  3

A matritsa 4 ta satrdan tashkil topgani sababli L matritsa 44 o‘lchamli bo‘ladi. Birinchi qadamda belgilangan yozuvlar L matritsa yozuvining ustunlarini tashkil qiladi. Bu yozuvda barcha diagonal elementlarni birlarga aylantiramiz:
 2 
^24 39 2 ^
 
 6 12 4 5

:2 :3 :2     1   2 1 ^1  3 1   3 4 2  Demak,  2 4 1 5   4  5 3 8 ^2  5  4 1   6 0 7  3 

:5    1 0   . Bundan L12 13   1  3 4  2  1 0 0 0 2 4     1   2 1 0 0 0 3 8  1  3 1 00 0     1   3 4 2 1 0 0 

0 0  0 0.  1 1 5 1 2 0 2 0 0

 2   3 1 .  5 

n- tartibli kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin. Bunda A matritsani LU yoyish turli algoritmlar bilan amalga oshirilishi mumkin⁹. Shunday algoritmlardan biri

bilan tanishamiz.

 1  l21 l31  ... 

0 1 l32 ...

0 0 1 ...

... ... ... ...

0 u11  0  0 0  0   ...  ...   0

u12 u22 0 ... 0

u13 u23 u33 ... 0

... ... ... ... ...

u1n  a11   u2n  a21 u3n a31 ...   ... u  a

a12 a22 a32 ... a

a13 a23 a33 ... a

... ... ... ... ...

a1n   a2n  a3n . ...  a 

A matritsa xosmas bo‘lsin. U holda ta’rifga ko‘ra

ln1 ln2ln3...1 U nn n1 n2An3 nn
L
Bundan
n min(i, j) aij  likukj  likukj / .
k1 k1
Bu yig‘indidagi oxirgi qo‘shiluvchilarni ajratib, topamiz:
i1 u_ij  a_ij  l_iku_kj , agar i  j bo‘lsa; (1.3.2)
k1
¹
l_ij  ^a_ij  _^j1l_iku_kj ^, agar i  j bo‘lsa. (1.3.3)
u jj  k1 
Shunday qilib, L va U matritsalarning noma’lum elementlari a_ij va topilgan l_ik ,u_kj lar orqali ketma-ket ifodalanadi.
2-izoh. (1.3.2) va (1.3.3) formulalar shunday tartiblanganki, bunda avval barcha u_ij larni va keyin barcha l_ij larni hisoblab bo‘lmaydi, va aksincha. Bu formulalar orqali hisoblashlar quyidagi tartibda bajariladi:
u_1j  a_1j , j 1,2,...,n;

aⁱ¹ , i  2,3,...,n;
l_i1  u₁₁ u_{2 j}  a_{2 j} l₂₁u_1j , j  2,3,...,n;
l_i2  a^{i2  li1u12} , i 3,4,...,n; u₂₂
va hokazo, ya’ni U matritsaning satrlari va L matritsaning ustunlari almashlab

hisoblanadi.
8  3.5-misol. A  4 6 	2 9 7	9  4 matritsani LU yoying. 9

Yechish. Berilgan matritsa xosmas, chunki det A166  0.

LU  A yoyilmani tuzamiz:
 1 0 0 u11    l21 1 0 0 l31 l32 1  0 	u12 u22 0	u13  8   u23   4 u33  6	2 9 7	9  4. 9

L va U matritsalarning noma’lum elementlarini (1.3.2) va (1.3.3) formulalar bilan aniqlaymiz:
1 4 1
u₁₁ a₁₁ 8, u₁₂ a₁₂  2, u₁₃ a₁₃ 9, l₂₁  a₂₁   ,
u₁₁ 8 2
u₂₂  a₂₂ l₂₁u₁₂ 9  2 8, u₂₃  a₂₃ l₂₁u₁₃  4  9   ,
31 1 31 6 3 32 1 32 31 12 17  3 2  11,
l  a   , l (a l u )  
u₁₁ 8 4 u₂₂ 8 4  16

u₃₃  a₃₃ l₃₁u₁₃ l₃₂u₂₃ 9  3 9  11  1_  83.
4 16  2 32
Demak,
    8 2 9 _  8 2 9 
_4 9 4_  1 10 00 8  1_.
1 _0
6 7 9  32 11   832

 1 0 0 
 4 16   32 

3.3. Matritsaning rangi

mⁿ o‘lchamli A matritsa berilgan bo‘lsin. Bu matritsadan biror k (k  min(m;n)) ta satr va k ta ustunni ajratamiz. Ajratilgan satr va ustunlarning kesishishida joylashgan elementlardan k - tartibli kvadrat matritsani tuzamiz. Bu matritsaning determinantiga A matritsaning k - tartibli minori deyiladi. A matritsa noldan farqli minorlari tartibining eng kattasiga A matritsaning rangi deyiladi va r(A) (yoki rangA) kabi belgilanadi.
Tartibi r(A)ga teng bo‘lgan minorga A matritsaning bazis minori deyiladi.
Matritsa bir nechta bazis minorga ega bo‘lishi mumkin.
Matritsa rangining ta’rifidan quyidagi tasdiqlar kelib chiqadi.

1. 
   Matritsaning rangi 0 bilan m,n sonlarining kichigi orasidagi butun son orqali ifodalanadi, ya’ni 0  r(A)  min(m;n).
   
2. 
   Faqat AO matritsa uchun r(A)  0 bo‘ladi.
   
3. 
   n- tartibli kvadrat matritsa nosingular bo‘lganidagina r(A)  n bo‘ladi.
   

Matritsanng rangi ushbu xossalarga bo‘ysunadi ¹⁰.
1^o. Transponiplash natijasida matritsaning rangi o‘zgarmaydi;
2^o. Elementar almashtirishlar natijasida matritsaning rangi o‘zgarmaydi. Isboti. Bilamizki:

1. 
   transponirlash natijasida determinantnig qiymati o‘zgarmaydi;
   
2. 
   ikkita satrning (ustunning) o‘rni almashtirilsa, determinantning ishorasi
   

o‘zgaradi;

3. 
   satrni (ustunni) noldan farqli songa ko‘paytirilsa, determinant shu songa
   

ko‘payadi.

4. 
   datrga (ustunga) noldan farqli songa ko‘paytirilgan boshqa satrni (ustunni)
   

qo‘shilsa determinant o‘zgarmaydi.
Demak, transponirlash va elementar almashtirishlar natijasida xos matritsa xosligicha va xosmas matritsa xosmasligicha qoladi, ya’ni uning rangi o‘zgarmaydi.
r(A)ni ta’rif asosida topish usuli minorlar ajratish usuli deb ataladi. Bu usulda matritsaning rangi quyidagicha topiladi: agar barcha birinchi tartibli minorlar (matritsa elementlari) nolga teng bo‘lsa, r(A)  0 bo‘ladi; agar birinchi tartibli minorlardan hech bo‘lmaganda bittasi noldan farqli va barcha ikkinchi tartibli minorlar nolga teng bo‘lsa, r(A) 1 bo‘ladi; agar ikkinchi tartibli noldan farqli minor mavjud bo‘lsa, uchinchi tartibli minorlar tekshiriladi; bu jarayon yoki barcha k - tartibli minorlar nolga teng bo‘lishi aniq bo‘lquncha yoki k - tartibli minorlar mavjud bo‘lmaguncha davom ettiriladi, bunda r(A)  k 1 bo‘ladi.
2 1 3  2
 
3.6-misol. A4  2 5 1  matritsaning rangini minorlar ajratish usuli
2 1 1 8 
bilan toping.
Yechish. Ravshanki, 1 r(A)  min(3;5)  3.
Ikkinchi tartibli minorlardan biri
1 3
 5 6 1 0.
 2 5
Uchinchi tartibli minorlarni hisoblaymiz (ularning soni C₃³ C₄³  4ta):
2 1 32 1  2
M₁⁽³⁾ 4  2 5 0; M ₂⁽³⁾ 4  2 1 0; 2 1 12 1 8
2 3  21 3  2
M₃⁽³⁾ 4 5 1 0; M ₄⁽³⁾  2 5 1 0.
2 1 81 1 8
Barcha uchinchi tartibli minorlar nolga teng. Demak r(A)  2.
r(A)ni topishning minorlar ajratish usuli hamma vaqt ham qulay
bo‘lavermaydi, chunki ayrim hollarda bir qancha hisoblashlar bajarishga to‘g‘ri keladi.
Elementar almashtirishlar orqali har qanday matritsani bosh diagonalning birinchi bir nechta elementlari birlardan va qolgan elementlari nollardan iborat bo‘lgan matritsa ko‘rinishiga keltirish mumkin, masalan,
1 0 0 0
 
A  _00 10 00 00_.
 
0 0 0 0
Bunday matritsaga kanonik matritsa deyiladi. Kanonik matritsaning rangi uning bosh diagonalida joylashgan birlar soniga teng bo‘ladi. r(A)ni kanonik matritsaga keltirib topish usuli matritsani kanonik ko‘rinishga keltirish usuli deb ataladi.

 1 1 2 3 1   3.7-misol. A 2 0 1 1 2 matritsaning rangini uni kanonik ^1 3  5 10 5^  ko‘rinishga keltirish usuli bilan toping.  1 1 2 3 1   Yechish. A 2 0 1 1 2r2 r2  (2)r1 ~
	^1 3  5 10 5^ r3 r3 r1 
1  ~0 0 	1 2 2  3 2  3	3 1 1 1   7 4 ~0 2 7 4r3 r3  (1)r2 0 0	2 3 1   3  7 4 ~ 0 0 0^AA^T
	 1  1 ~ 2  3 1 	0 0 1 0   2 0 r2  r2  r1 0 2  3 0^r3  r3  (2)r1 ~^0  3  7 0r4  r4  (3)r1 0  7  4 0 r5  r5  r1 0 4	0  0 r2  r2 :2 0^r3  r3 :3 ~  0 r4  r4 :7 0^r5  r5 :(4)
Demak, r(A)  2.		1 0 0 1    0 1 0 0 ~^0 1 0^r3 r3 r2 ~^0    0 1 0r4 r4 r2 0 0 1 0r5 r5 r2 0 	0  0 0 0^.  0 0 0 0