Referat mavzu. Matritsa ustida almashtirishlar toshkent 2016

teorema. Xos matritsa teskari matritsaga ega bo‘lmaydi.

Isboti. A matritsa uchun A^1 mavjud bo‘lsin deb faraz qilaylik. U holda
AA^1 I bo‘ladi. Bundan det(AA^1)detI yoki det Adet A^1 detI kelib chiqadi. Bunda det A  0 va det I 1 ekanini hisobga olsak, 0 1 ziddiyat hosil bo‘ladi. Bu ziddiyat qilingan faraz noto‘g‘ri ekanini ko‘rsatadi, ya’ni teoremani isbotlaydi.

2. 
   teorema. Har qanday xosmas A matritsa uchun teskari matritsa mavjud va yagona bo‘ladi.
   

Isboti. A matritsa xosmas, ya’ni det A 0 bo‘lsin. Avval A^1 mavjud
1 bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun A matritsani adjA matritsaga det A
ko‘paytiramiz va ko‘paytmaga determinantning 9- va 10- xossalarini qo‘llaymiz:



1

a11   a21

a12 a22

 

a1n  detA12A a2n  

det A A22



 det A An2 

    det A   an1 

 an2

 

^detA  ann   A1n

det A  A2n

 

det A ^  Ann 

 A11 A21 An1  
A adjA
 ^
det A det A det A
 a11A11 a12A12 ...a1nA1n a11A21 a12A22 ...a1nA2n a11An1 a12An2 ...a1nAnn 

  det A a21A11 a22A12 ...a2nA1n

det A a21A21 a22A22 ...a2nA2n

...

 det A  a21An1 a22An2 ...a2nAnn 

^ det A  ... an1A11 an2A12 ...annA1n

det A ... an1A21 an2A22 ...annA2n

... ...

det A ^ ...  an1An1 an2An2 ...annAnn 

 	det A			det A			det A	 
	det A  det A  0       0 	0 det A det A  0	   	0  1    0   0    det A ^ 0  det A	0 1  0	   	0   0   I  AA1.   1 

...
Demak, A matritsaga teskari matritsa mavjud va bu matritsa
^1 1
A  adjA (1.3.1)
det A
formula bilan topiladi. Bunda AA^1 I tenglik bajariladi.
A^1AI tenglikning bajarilishi shu kabi ko‘rsatiladi.
Endi A^1 yagona ekanini ko‘rsatamiz. Buning uchun A^1dan boshqa
A matritsaga teskari C matritsa mavjud bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda ta’rifga ko‘ra AC  I bo‘ladi. Bu tenglikning har ikkala tamonini A^1 ga chapdan ko‘paytiramiz:
A^1AC  A^1I.
A^1AI bo‘lgani uchun IC A^1I bo‘ladi. Endi IC C va A^1I  A^1ekanini hisobga olsak, C  A^1 kelib chiqadi. Teorema to‘liq isbot qilindi.
3- teorema. Teskari matritsa uchun ushbu xossalar o‘rinli bo‘ladi ⁵:
^{o 1 1} 1 bo‘ladi;

1. 
   . A matritsa A teskari matritsaga ega bo‘lsa, det A 
   

det A
2^o. A matritsa A^1 teskari matritsaga ega bo‘lsa, (A^1)^1  A bo‘ladi;
3^o. nn o‘lchamli A va B matritsalar A^1 va B^1 teskari matritsalarga ega bo‘lsa, (AB)^1  B^1A^1 bo‘ladi;

4^o. A matritsa A^1 teskari matritsaga ega bo‘lsa, (A^T )^1  (A^1)^T bo‘ladi. Isboti. 1) A matritsa uchun A^1 mavjud bo‘lsin. U holda AA^1 I yoki ^{1 1 1} 1 kelib
det(AA ) detI bo‘ladi. Bundan det Adet A 1 yoki det A  det A chiqadi.

2. 
   A matritsa uchun A^1 mavjud bo‘lsin. U holda AA^1 I  A^1A
   

^1
tengliklarga ko‘ra A matritsa uchun teskari matritsa mavjud va u A dan iborat, ya’ni (A^1)^1  A bo‘ladi.

3. 
   nn o‘lchamli A va B matritsalar A^1 va B^1 teskari matritsalarga ega bo‘lsin. U holda AB va B^1A^1 matritsalar uchun
   

(B^1A^1)(AB)  B^1(A^1A)B  B^1IB B^1B  I,

(AB)(B^1A^1)  A(BB^1)A^1  AIA^1  AA^1  I

bo‘ladi. Demak, AB uchun teskari matritsa mavjud va (AB)^1 B^1A^1 bo‘ladi.
4) A matritsa uchun A^1 mavjud bo‘lsin. U holda A^T va (A^1)^T matritsalar uchun
AT (A1)T (A1A)T  IT  I,

(A1)T AT (AA1)T  IT  I

bo‘ladi. Demak, A^T uchun teskari matritsa mavjud va (A^T )^1  (A^1)^T bo‘ladi. 1-izoh. 3^o xossani k ta nn o‘lchamli va teskari matritsalarga ega bo‘lgan
matritsalar uchun quyidagicha umumlashtirish mumkin:
1 1 1 1 1
A1A2 ... Ak1Ak   Ak Ak1 ... A2 A1 .
Bu formula matematik induksiya metodi bilan isbotlanadi ⁶.
3.1-misol. A  ^₁^{3 4}₂^_ matritsaga teskari matritsani toping va natijani tekshiring.
Yechish. Berilgan matritsaning determinantini hisoblaymiz:

3 4 det A  6  4  2.
1 2
det A 0va A matritsa uchun teskari matritsa mavjud.
Matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz:
A₁₁ (1)^112  2, A₁₂ (1)^1211,
A₂₁ (1)^214  4, A₂₂ (1)^2233.
A matritsaga biriktirilgan matritsani topamiz:
 A¹¹ A²¹   2  4
adjA A12 A22   1 3 .


1  2 A1  1 det A Tekshirish:	 4  12 34  112 232.  3  2 1
AA1  13 	4  1  2 1 0 I.  1 32   0 1  2  2

Shunday qilib,
 1  2 1
 
3.2-misol. A 2 0 1 matritsaga teskari matritsani toping .
 2 1 1

det A 

1 2  2

 2 0 1

1 1 1

 0  4  2  0  4 1 3  0.

Yechish. Bu matritsa uchun:
Matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz:

1. 
   1 2 1 2
   

A₁₁ 1, A₂₁  3, A³¹  2,

2. 
   11 10 1
   
3. 
   ^11 11 1
   

A₁₂  0, A₂₂  3, A³²  3,
 2 2 12 1
2 01  21  2

A13  2, A23   3, A33  4.

A matritsaga biriktirilgan matritsani topamiz:
 A11 A21  adjA   A12 A22  A13 A23  Demak,	A31  1   A32   0 A33  2		3 3 3	2  3. 4
1 3 1  A^^1 0 3 det A2 3 	1 2  3   3 0 4  23 		1 1 1	2  3 1. 4 3

2 1 2 12 0

Teskari matritsani topishning Gauss-Jordan usuli

A xosmas matritsaning A^1 teskari matritsasini topishning qulay usullaridan biri matritsa satrlari ustida elementar almashtirishlarga asoslangan Gauss-Jordan usuli hisoblanadi.
A^1 matritsani topishning Gauss-Jordan usuli ushbu tartibda amalga oshiriladi
⁷.
Gauss-Jordan usulining algoritmi
1^o. A va I matritsalarni yonma-yon yozib, (A| I) kengaytirilgan matritsa tuziladi;
2^o. Elementar almashtirishlar yordamida (A| I) matritsa (I | B) ko‘rinishga keltiriladi. Bunda B matritsa A matritsa uchun teskari
matritsa bo‘ladi.
3.3-misol. A  ^_1^{2 1}3^_ matritsaga teskari marritsani Gauss-Jardon usuli bilan toping

va natijani tekshiring.
Yechish.

^3 11 0r₁  r₁  (2)r₂ ~ (A| I) 
1 20 1

1 31  2_ ~1 31  2 _~
~
1 20 1 r₂ r₂  (1)r₁ 0 51 3 r₂ r₂ :5
 


1 3  
~ ~1 0  (I | A1).
0 5 r2 r2 :5 0 1
  5 
Yuqorida keltirilgan r_i r_i r_k belgilash i -satr bu satrga  songa ko‘paytirilgan k - satrni qo‘shish natijasida hosil qilinganini, r_i r_i : belgi esa
i - satr bu satrni  songa bo‘lish natijasida hosil qilinganini bildiradi.
 2 1
Demak, A   ^5
1  ^35_  1_21 31_.
 1 5_
 5 5 
Tekshirish:
AA_1 _13 12_ 15__21 31__  15_50 05__  I.

 1  3.4-misol. A  1  2 

1 3 1

2   0  matritsaga teskari marritsani Gauss-Jardon usuli 4  

bilan toping.
Yechish.

(A
1 1

~0 2
^0 3



1 0 3
~^0 1 1

0 0  3


Demak,
 1 1

| I)  1 3
^ 2 1


1. 
   0
   



2. 
   0r₂  r₂ : 2
   

1. 
   1^
   



2. 
    0
   
3. 
   
   

1 
0 2 

 2

1 

3 r₃ r₃ :


_1 0 0
~0 1

0 0 1


21 0 0

00 1 0 r₂  r₂  r₁ ~
40 0 1^r  r  (2)r
 _{3 3} 1
1 1 20 r1  r1  r2
~0 1 10 ~

0 3 01r₃  r₃  (3)r₂


0 
1 0r₁ r₁  (3)r₃
~^0 10 ^r₂ r₂  (1)r₃ ~

(3) 0 01
  
3

1 1 ^
0 ¹   (I | A^1).
3 
1
 
3

   2  2 A^^1   3

1 0

 1  1 . 3 

 1
  
3