|
Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash
a = a(x) va f3 = P(x) funksiya x ^ a (yoki x ) da cheksiz kichik funksiyalar bo’lsin. Bu funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi ham cheksiz kichik funksiya bo’lishini ko’rdik. Ularning nisbati, ya‘ni bo’linmasi haqida gapirilmagan edi. Ikkita cheksiz kichik funksiyalarni ularning nisbatlarini limitiga qarab taqqoslanadi.
REFERAT 1
= 1 +1+-L (1 --L 1+_L_ (1 -_!_ Y1-_!. ]+...+ 15
1+1 T >f1+11 >f1 +1 18
t ^+да1 t ) t ^+да1 t) t ^+да1 t) v t) 18
1+1 y) 19
1+1 y) 19
f (x) g(x) 27
kichik funksiya, chunki lim sin2 x = 0 , lim x = 0 va lim = lim lim sin x = 1 • 0 = 0.
x^0 x ^0 x^0 x x^0 x x^0
a
ta‘rif. Agar lim— = A ^ 0 bo’lsa, a va В funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik funksiyalar deyiladi.
Masalan x ^ 0 da a = sin3x va B = x funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik
sin 3x
funksiyalardir, chunki lim sin 3x = 0 , lim x = 0 va lim = 3 Ф 0.
x^0 x^0 x^0 x
a
ta‘rif. Agar lim — = 1 bo’lsa, a va В cheksiz kichik funksiyalar ekvivalent deb ataladi va a~В yoki a « В kabi yoziladi.
Masalan, x ^ 0 da sinx~x, chunki lim sin x = 1 va x ^ 0 da tgx~x, chunki limtgx = 1.
REFERAT 1
= 1 +1+-L (1 --L 1+_L_ (1 -_!_ Y1-_!. ]+...+ 15
1+1 T >f1+11 >f1 +1 18
t ^+да1 t ) t ^+да1 t) t ^+да1 t) v t) 18
1+1 y) 19
1+1 y) 19
f (x) g(x) 27
Funksiyaning uzluksizligi
Argument va funksiyaning orttirmalari
y = f (x) funksiya (a; b) intervalda aniqlangan bo’lsin. Bu intervaldan ixtiyoriy x0 nuqtani olamiz, unga funksiyaning y0 = f (x0) qiymati mos keladi (90-chizma).
(a; b) intervaldan olingan argumentning boshqa x qiymatiga funksiyaning y = f (x) qiymati mos keladi. x - x0 ayirma x argumentning x0 nuqtadagi orttirmasi deyiladi va Ax orqali belgilanadi. f (x) - f (x0) ayirma f (x) funksiyaning argument orttirmasi Ax ga mos orttirmasi deyiladi va Ay orqali belgilanadi. Shunday qilib, Ax = x - x0, Ay = f(x) - f(x0). Bundan x = x0 +Ax, Ay = f (x0 + Ax) - f (x0) . 90-chizmada (a; b) intervalning hech bir nuqtasida grafigi uzilmaydigan funksiya tasvirlangan. Undan ko’rinib turibdiki argumentning kichik Ax orttirmasiga funksiyaning ham kichik Ay orttirmasi mos keladi. Boshqacha aytganda argument x ning bir-biriga yaqin qiymatlariga funksiyaning ham bir-biriga yaqin qiymatlari mos keladi. Bu qoida har qanday funksiya uchun ham to’g’ri kelavermaydi. Masalan, y = 1 funksiyani qaraylik. x ning bir-biriga
x
90-chizma.
ancha yaqin x1 =-10~6 va x2 = 106 qiymatlariga funksiyani bir-biridan katta farq qiladigan y1 =-106 va y2 = 106 qiymatlari mos keladi. Boshqacha aytganda argumentning juda kichik Ax = x2 - x = 2 • 10-6 orttirmasiga funksiyaning ancha katta Ay = y2 - y1 = 2 • 106
orttirmasi mos keladi. Agar biz y = 1 funksiyani
x
grafigini (91-chizma) kuzatsak grafikning uzilishga ega (u ikki bo’lakdan iborat) ekanligini va uzilish x ning x=0 qiymatida sodir
bo’lishini ko’ramiz. Shuning uchun ham argumentning x0 =0 nuqtaga yaqin nuqtalardagi kichik orttirmasiga funksiyaning kichik orttirmasi mos kelmaydi. Bu kabi hollar barcha funksiyalar sinfini ikkiga, ya‘ni grafigi uzilmaydigan va grafigi bir nechta qismlardan iborat funksiyalar sinfiga bo’lib o’rganishni taqozo etadi.
Funksiyaning nuqtada va intervalda uzluksizligi
y = f (x) funksiya x0 nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.
1-ta‘rif. lim f(x) = f(x0) , (18.1)
ya‘ni funksiyaning x0 nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga teng bo’lsa, y = f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Bu ta‘rifga teng kuchli yana bir ta‘rifni keltiramiz.
91-chizma.
ta‘rif. Istalgan s > 0 son uchun shunday 8 = 8(e) > 0 son mavjud bo’lsaki, |x -x0| < 8 shartni qanoatlantiradigan istalgan x uchun f (x) - f (x0)| y = f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
ta‘rif. lim Ay = 0 (18.2)
Ax^0
bo’lsa, y = f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
90-chizmada tasvirlangan y = f (x)
funksiya x0 nuqtada uzluksiz, chunki (18.2) shart bajariladi.
An-0
92-chizmada tasvirlangan y = f(x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz emas, chunki lim Ay ^ 0.
92-chizma.
1-misol. y = x2 funksiyani ixtiyoriy x0 nuqtada uzluksizligini ko’rsating. Yechish. Bu funksiya butun sonlar o’qida aniqlangan. Ay ni tuzamiz: f(x) = x2; f(x0) = x02;
f( x0 + Ax) = (x0 + Ax)2;
Ax^0
Ax^0
Ay = f (x0 + Ax) - f (x0) = (x0 + Ax) - x2 = x2 + 2x0 Ax + Ax2 - x2 = 2x0 Ax + Ax2. Demak, lim Ay = lim (2x0Ax + Ax2 )= 0 va y = x2 funksiyani ixtiyoriy
nuqtada uzluksiz.
Shunday qilib, y = x2 funksiya aniqlanish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz ekan. 2-misol. y = sinx funksiyani ixtiyoriy x0 nuqtada uzluksizligini ko’rsating.
Yechish. f (x) = sin x
Л ГГ К N Г / \ • / Л Ч • „ . х0 + Ах - х0 х0 + Ах + х0
Ау = f (х0 + Ах) - f (х0) = sin(x0 + Ах) - sinх0 = 2sin — -cos-
2
2
_ . Ах f Ах
= 2sin—cosl хп +■
2
2
_ . Ах f Ах^ . Ах f Ах^
lim Ау = lim 2sin — cosl х н I = 2 lim sin— lim cosl х н I = 0,
Ах—0 Ах—0 2 I 0 2 ) Ах—0 2 Ах—0 I 0 2 )
. .... .Ах
chunki lim sin— = 0 .
Ах —0 2
Har bir elementar funksiya uchun shu tariqa mulohaza yuritib quyidagi teoremaning to’g’riligiga iqror bo’lamiz.
18.1-teorema. Asosiy elementar funksiyalar o’zlari aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir.
Bir tomonlama limit tushunchasidan foydalanib uzluksizlikni quyidagicha ta‘riflash mumkin.
ta‘rif. Funksiyaning х0 nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari mavjud va o’zaro teng bo’lsa, у = f (х) funksiya х0 nuqtada uzluksiz deb ataladi.
Shunday qilib f (х) funksiya х 0 nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun u shu nuqtada aniqlangan va f (х 0 - 0) = f (х 0 + 0) = f (х 0) shart bajarilishi lozim ekan.
Yana 1-ta‘rifga qaytib uni lim f (х) = f (lim х) ko’rinishda yozamiz. Bundan ko’rinib
х— х0 х^х0
£n(1 + х) 1 -
3-misol. lim = lim — £n(1 + х) = lim £n(1 + х) х = £n
х—0 х х—0 х х—0
1
lim(1 + х)х
Do'stlaringiz bilan baham: | 
