Referat bajardi: " ngi-112" guruh talabasi Qodirov Ilhom Qabul qildi

x ^0

x^-0

Demak,

sin x

x

funksiya shunday ikki funksiya orasidaki, ularning ikkalasi ham bir xil 1 ga
to’g’ri degan xulosaga kelamiz. Ammo lim1 = 1 va lim cosx = 1.

teng limitga intiladi. Shuning uchun oraliq funksiyaning limiti haqidagi 16.6-teoremaga binoan

oraliqdagi ^{sin x} funksiya ham ana shu 1 limitga intiladi, ya‘ni lim ^sinx =1. у = ^sinx

x ^x^⁰ x x

funksiyaning grafigi 88-chizmada tasvirlangan.

sin x

tgx _{cos x} sinx 1 sinx 1 , 1 ,

11. 
    misol. lim —— = lim ^{cos x} = lim = lim lim = 1 — = 1.
    

^x^° x ^x^⁰ x ^x^⁰ x cos x ^x^° x ^x^⁰ cos x 1

sinmx sinmx sinmx ,

11. 
    misol. lim = lim m =m lim =m-1=m (m-o zgarmas son).
    

^x^° x ^x^⁰ mx ^x^⁰ mx

sina x sinax

. lim

„„ . , sinax _x x^o _x a

11. 
    
    p x^o sin p sin Px p'
    
    ^x ^⁰ x
    misol. lim = lim ^x - ^x -
    

^x^° sin

Ikkinchi ajoyib limit

Ushbu sonli ketma-ketlikni qaraymiz, bunda n-natural son.

n
( 1 1

Teorema. Umumiy hadi bo’lgan ketma-ketlik n ^ да da 2 bilan 3 orasida

V ⁿ J

yotadigan limitga ega.

(a+by = a + n_a~i_b+nOnzR _an-₄ 2 ₊ ⁿ⁽ⁿ -¹⁾⁽ⁿ - ²⁾ _an-'b b +... ₊ ^v ' 1 1 • 2 n(n - 1)(n - 2)...[n - (n -1)]

1 • 2 • 3

+

_bn

1 • 2 • 3 •... • n

dan foydalanib ketma-ketlikni x_n va x_n+1 hadlarini quyidagi ko’rinishda yozamiz:

+ -

1 • 2 • 3 •... • n

(1	Y ^n(n -^1)(n -	^2) (^11^3
V^n	J 1 • 2 • 3	V n J
	, 1 (л
1]		1] - I + -
n J	1-21	n J .

1 + i] = 1 + n • I + ⁿJnz_

, n J 1 n 1 • 2

+

1

(1 -1Y1 - 2.1 - n-1

1 • 2 • 3...n V n JV n J V n

^Xn+1 = I ¹ +

1

n +1

n + 1

= 1 +1+-L (1 --L 1+_L_ (1 -_!_ Y1-_!. ]+...+

+ -

1

1 • 2 V n +1J 1 • 2 • 3 V n +1

1

1 -_L )(1 __L U1 - n-1,+

n + 1

1 _LY1 -Lib - n

1 • 2• 3...nV n +1JV n +1J V n +1J 12• 3...(n +1) V n +1JV n +1J V n +1

x_n bilan x_n+1 ni taqqoslasak, x_n+1 had x_n haddan bitta musbat qo’shiluvchiga ortiqligini

11 - if! - ²| +... + (17.4)

Isboti. Nyuton binomi formulasi




к

к
ko’ramiz. 1 > 1 — (к = 1,2,3..., n -1) bo’lgani uchun uchinchi haddan boshlab x_n+1 dagi

n +1 n

har bir qo’shiluvchi x_n dagi unga mos qo’shiluvchidan katta. Demak, istalgan n uchun x_n+l > x_n va ( 1 ] ”

umumiy hadi bo’lgan ketma-ketlik monoton o’suvchi.

Endi berilgan ketma-ketlikni chegaralanganligini ko’rsatamiz. Istalgan £=1,2,3,... uchun

1 — < 1 ekanini hisobga olib (17.4) formuladan n
к

L 1 Y^i i 11 1

X = I1 + —I <1 +1 + + +... + ■

tengsizlikni hosil qilamiz.

1 1 1 1

So ngra < —, < —,...,- - .

1 ■ 2 ■ 3 2² 1-2 ■ 3 ■ 4 2³ 1 ■ 2 ■ 3 ■... ■ n 2^n-1

ekanligini ta‘kidlab tengsizlikni

L 1 ^ " L 111 1 ^л

=|1 + -I <1 + 1 1 + - + ^r + ^r + ... + —Г + ...


1 ■ 2 1-2 • 3 1-2 • 3 •... • n

1 1

<

n

ч n-1

2 2² 2³

n

ko’rinishda yozamiz. Qavsga olingan yig’indi birinchi hadi а=1 va maxraji q= 1 bo’lgan

geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini ifodalanganligi uchun cheksiz kamayuvchi

a

geometrik progressiyaning hadlari yig’indisini topish formulasi S = ga asosan

^{1 -} q

x =[i+i J <¹+-±=¹+²=3

2

tengsizlikka ega bo’lamiz. Ketma-ketlik monoton o’suvchi bo’lganligi sababli uning birinchi hadi

( 1 Y

X = I 1 + у I = 2 uning qolgan barcha hadlaridan kichik bo’ladi.

( 1Y ( 1 ^ⁿ

Demak, barcha n uchun 2 < I 1 + — I < 3 o’rinli, ya‘ni umumiy hadi ^xn =I ¹ +- I bo’lgan

^ n J \ ⁿ J

ketma-ketlik monoton o’suvchi va chegaralangan. Shu sababli u monoton chegaralangan ketma- ketlikning limiti mavjudligi haqidagi 16.1-teoremaga ko’ra chekli limitga ega. Bu limitni е harfi bilan belgilaymiz, ya‘ni

( 1Y

limI 1 + — I = e .

n J

е-irratsional son. Keyinroq uni istalgan darajada aniqlik bilan hisoblash usuli ko’rsatiladi. е = 2,7182818284...

( 1 ^ ^X

Teorema. I 1 + —I funksiya xda е songa teng limitga ega:

lim ⁽1 +¹ | = e (17.5).

^x^4 x J


















Isboti. 1) x ^ да deylik. U holda n < x < n +1; — > — > ¹


,1,1, 1 1 + — > 1 + — > 1 + ■

. n+1

n

x n + 1

— 1 ¹ n x n +1

bo’ladi. Agar x ^+да, u holda

n +1

и^да

lim^f 1 +^11	> lim I	1+1 т	> lim |1 + ^1
n)	x ^+да I	. ^x)	n + 1
1 +^11 > lim	^f1+1T	> lim I	1 + ^1 j^n г +
n ) ^x ^+^да	V x )	я^да I	. n +1) V

n

x

\ n+1

n

yoki

n

1

n

1+1 T >f1+11 >f1 +¹

e ■ 1 > lim |1 +¹| > e ■1 bundan lim |1 +¹1 = е kelib chiqadi.

х^+^да^ x) ^x ^+^да^ x)

2) x ^-да deylik. Yangi t=-(x+1) yoki x=-(t+1) o’zgaruvchini kiritamiz. t ^+да da










-(t+1)

lim

x^-да

1 + - I = lim

v x) ^t ^+^да

1 -■

v t +1

= lim

t ^+да

( t y^(t+¹⁾

v

t +1
x ^ -да va

= lim ft±1 T*' = lim ^f1 +11*' = lim b +1Tb +11 = е-1 = e.

^t ^+^да1 t ) ^t ^+^да1 t) ^t ^+^да1 t) v t)

Shunday qilib, lim ^f1 +¹1 = е ekanini isbotladik. Bu limit ikkinchi ajoyib limit deb

^x^±4 x)





1

Agar bu tenglikda — = a deb faraz qilinsa, u holda x ^ да da a ^ 0 (а Ф 0) va

x
yuritiladi.


a^0
lim (1 + a)a = е

tenglikni hosil qilamiz. Bu ikkinchi ajoyib limitning yana bir ko’rinishi.

f 1T^x

у = I 1 + — I funksiyaning grafigi 89-chizmada tasvirlangan.

ln x 1

Igx = = - Inx = 0,434294 Inx yoki Inx = ln10 Igx = 2,302585Igx .

ln10 ln10

14-misol. lim f 1 +¹ Т^+§ = lim f 1 +¹ Yf 1 +¹T = limf 1 +¹ Y limf 1 +¹ Y = e(1 + 0)⁸ = e.


Chizmadan ko’inib turibdiki bu funksiya (­1,0) intervalda aniqlanmagan, ya‘ni 1 + — < 0,

x

chunki 1 + ^— = ^{x +1} va x +1 > 0, x < 0. x x

Izoh. Asosi е bo’lgan y = e^x

ko’ursatkichli funksiya eksponental funksiya deb ataladi. Bu funksiya mexanikada(tebranishlar nazariyasida),

89-chizma.

elektrotexnikada va radiotexnikada, radioximiyada va hokazolarda turli hodisalarni o’rganishda katta rol o’ynaydi.

Izoh. Asosi е = 2,7182818284...sondan iborat logarifmlar natural logarifmlar yoki Neper logarifmlari deb ataladi va log_ex o’rniga Inx deb yoziladi. Bir asosdan ikkinchi asosga o’tish

log b

formulasi log_ab = ^c- dan foydalanib o’nli va natural logarifmlar orasida bog’lanish o’rnatish

^log-^a

mumkin:

n—wi n ) n—wi n ) l n) n—wi n ) n—wi n

f 3 Y

15-misol. lim I 1 + I topilsin.

^x—wl x)

Yechish. x=3t desak, x — w da t — w va

f 3Y		f 1	1	,. 1	f	1Y f - Y f	- Y
lim I 1 + - I	= lim	I 1+-	I =	lim	1+	-111+-111+	-1 =
^x—wl x)	t—w	l t	)	t—w 1	l	t) l t Д	t)
	t		t		t
f 1^N	\ f	1 ^		f	11
= lim I 1 + -	lim I	1+-	lim	11+	-I	II II	bo’ladi
^t—wl t)	t — w l	t)	t—w		t)

x+2 x+1+1 (x+1)+1

f x + 4 ) f x +1 + 3 ) f 3 i

16-misol. lim I I = lim I I = lim I1 + ■

^x—wl x +1 ) ^x—wl x + 1

^x—wl x+1

^y+l ^y 1

= lim

y ——w

1+1 y)

= lim

y — w

1+1 y)

• lim

y —w

= e³ 4 = e³.

Ikkinchi ajoyib limit 1“ ko’rinishdagi aniqmaslik ekanini ta‘kidlab o’tamiz.