Referat bajardi: " ngi-112" guruh talabasi Qodirov Ilhom Qabul qildi

х —0

= £ne =1.
turibdiki х₀ nuqtada funksiya uzluksiz bo’lsa funksiyaning shu nuqtadagi limitini topishda limit ishorasini funksiya belgidan ichkariga kiritish mumkin ekan.

Bu yerda £n х funksiyani х=е nuqtada uzluksizligidan foydalanib limitni funksiya ishorasi £n ning ichkarisiga kiritdik.

2. 
   ta‘rif. (a; b) intervalning barcha nuqtalarida uzluksiz f (х) funksiya shu intervalda uzluksiz deb ataladi.
   

х—— х₀ +0
Agar funksiya х₀ nuqtada aniqlangan bo’lib lim f (х) = f (х₀) bo’lsa у = f (х) funksiya

х= х nuqtada o’ngdan uzluksiz deyiladi.

Agar funksiya х= х nuqtada aniqlangan bo’lib lim f(х) = f(х₀) bo’lsa у = f(х)

х—х0-0

funksiya х= х nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi.

2. 
   ta‘rif. у = f (х) funksiya (a; b) intervalda uzluksiz bo’lib х=а nuqtada o’ngdan va x=b nuqtada chapdan uzluksiz bo’lsa, u [a; b] kesmada uzluksiz deb ataladi.
   

5-va 6-ta’riflarga hamda 18.1 teoremaga asoslanib y = a^x, y = sin x, y = cos x funksiyalar butun sonlar o’qida, y = iog_ax funksiya (0; +») intervalda, y = Vx funksiya [0; +») intervalda,

y = — funksiya (-ю;0)^(0; +ю) intervalda uzluksiz ekanligini ta‘kidlab o’tamiz. x

Shuningdek ko’phad butun sonlar o’qida, kasr-ratsional funksiya x ning kasr maxrajini nolga aylantirmaydigan barcha qiymatlarida uzluksiz ekanini eslatib o’tamiz.

algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va g(x₀)^ 0 bo’lganda

^f (^x) g^(x)

bo’linmasi ham shu x nuqtada
Teorema. Agar fx) va g(x) funktsiyalar x₀ nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda ularning

uzluksiz bo’ladi.

Bu teoremaning isboti funksiya limitining xossalariga asoslangan.

Endi murakkab funksiyaning uzluksizligiga oid teorema bilan tanishamiz.

Nuqtada uzluksiz funksiya xossalarini ifodalovchi teorema bilan tanishamiz.

Teorema. Agar u = ^(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz, y = f (u) funksiya u₀ = tp(x₀)

nuqtada uzluksiz funksiya bo’lsa, u holda y = f [^(x)] murakkab funksiya ham x₀ nuqtada uzluksiz bo’ladi.

Isboti. lim f [^(x)] = f[

₀)] ekanligini ko’rsatamiz. u = y(x) funksiyaning x₀ nuqtada

^{x— x}0

uzluksizligidan lim

x₀) = u₀ ga ega bo’lamiz, ya‘ni x — x₀ да u — u₀. f (u)

^{x — x}0

funksiyaning shu nuqtada uzluksizligini hisobga olsak

^{lim f} [
^(x)] = ^{lim f (u)} = ^{f (u}0 ⁾ = ^f Ы^x0^)].

x ——x0 u ^«0

Shunday qilib ikkita uzluksiz f (u) va
funksiyalardan tashkil topgan y = ^{f [}K^x)] funksiya ham uzluksiz bo’lar ekan. Masalan, y = £n(\ — x²) murakkab funksiya х ning 4 - x² > 0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida, ya‘ni (— 2; 2) intervalda uzluksiz.

Asosiy elementlar va murakkab funksiyani uzluksizligi haqidagi teoremalarga tayanib elementar funksiyaning uzluksizligi haqidagi qo’yidagi teoremaga ega bo’lamiz.

Teorema. Barcha elementar funksiyalar o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdirlar. 4-misol. lim 4^{sin x} topilsin.

Ж

x———

2

Yechish.

4 ^{s x} murakkab funksiya

ж

x = —

2

nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun

lim 4^{sin x}

ж

x—-

2

. ж sin—

4^— = 4 bo’ladi.

4 ²

5-misol. lim

a^x -1

x^O x

topilsin.

O

Yechish. Bu yerda — ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. a^x -1 = t almashtirish olamiz. U

holda a^x = 1 +1, x = log_a (l +1) bo’lib x ^ O da t ^ O

va

1

1

^x - toga^(l +^t) “»! ₍og' (1 ₊1) lim log_a (1 +1)^{1 to}g.

= tog_ea = tna bo’ladi.

e

e^x _-1

Xususiy holda lim = tne = 1 kelib chiqadi, ya‘ni x ^ O da e^x -1 ~ x .

^x ^^O x

, . , (1 + x) -1

6-misol. lim topilsin.

O

Yechish. Bu yerda — ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. (1 + x)^p -1 = y almashtirish

olamiz. U holda (1 + x)^p = 1 + y, yoki buni e asosga ko’ra logarifmlasak pln(1 + x) = ln(1 + y) bo’ladi. x ^ O da y ^ O. Demak,

(1 + x) -1 y ptn(1 + x) y ln(1 + x) y

lim = lim — = lim -— —т = p lim — • lim ——т = p -1 -1 = p.

^xx ^x^ x ^x^° x ln(1 + y) ^x^° x y^^O ln(1 + y)

Shunday qilib, lim

(1 + x)^p -1 _

=p formulaga ega bo’ldik.

^x ^^O x

Uzluksizlik tushunchasidan foydalanilsa limitni hisoblash ancha osonlashadi, ya‘ni uzluksiz funksiyaning biror nuqtadagi limitini hisoblash uning shu nuqtadagi qiymatini hisoblashga keltiriladi.

Endi asosiy elementar funksiyalarning aniqlanish sohalarining chetlaridagi limitlari hamda ajoyib limitlar jadvalini keltiramiz.

1. 
   x = a nuqtada uzluksiz y = f (x) funksiya uchun lim f (x) = f (a)bo’ladi.
   

x ^a

2. 
   lim e^x = +w, lim e^x = O.
   

x^+w x^-w

3. 
   a > 1 bo’lganda lim a^x = +w, lim a^x = O bo’ladi.
   

x^+w x^-w

4. 
   O < a < 1 bo’lganda lim a^x = O, lim a^x = +w bo’ladi.
   

x^+w x^-w

5. 
   a > O bo’lganda lim x^a = +w, a < O bo’lganda lim x^a = O bo’ladi;
   

x^+w x^+w

6. 
   lim tnx = +w, lim tnx = -w.
   

x^+O

6') a > 1 bo’lganda lim log_ax = +w, lim log_ax = -w.

x^+O

lim — ¹ = lim ^ т = lim ¹

x^O V t^O Pncr ll-l-fl t^O

7. 
   0 < a < 1 bo’lganda lim tog_ax = -w, lim £og_ax = +w.
   

REFERAT 1

= 1 +1+-L (1 --L 1+_L_ (1 -_!_ Y1-_!. ]+...+ 15

1+1 T >f1+11 >f1 +¹ 18

^t ^+^да1 t ) ^t ^+^да1 t) ^t ^+^да1 t) v t) 18

1+1 y) 19

1+1 y) 19

^f (^x) g^(x) 27

1 x + 3Iⁱm^(2x + ³⁾ 2 • 2 + 3

lim = —² =