Referat bajardi: " ngi-112" guruh talabasi Qodirov Ilhom Qabul qildi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA ORTA MAXSUS TALIM VAZIRLIGI QARSHI MUHANDISLIK-IQTISODIYOT INSTITUTI

“OLIY MATEMATIKA” KAFEDRASI

Mavzu: Funksiyaning limiti va uzluksizligi

REFERAT

Bajardi: “NGI-112” guruh talabasi Qodirov Ilhom

Qabul qildi: Burxonova Mastura

Qarshi 2015



Mavzu : Funksiyaning limiti va uzluksizligi
Reja:

1. 
   Funksiyaning nuqtadagi limiti
   
2. 
   Funksiyaning cheksizlikdagi limiti
   
3. 
   Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi
   
4. 
   Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.
   
5. 
   Funksiyaning uzluksizligi
   

1. 
   Funksiyaning nuqtadagi limiti
   

f (x) funksiya х=а nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin (х=а nuqtaning o’zida aniqlanmagan bo’lishi ham mumkin). D(f) -funksiyaning aniqlanish sohasidan limitga ega bo’lgan ixtiyoriy \x_n}={x₁,x₂,....,x_n,...} ketma-ketlikni olamiz. f (x) funksiyaning \x_n} ketma-ketlikning nuqtalaridagi qiymatlari {f (х_я)} ketma-ketlikni tashkil etadi.

Ta‘rif. Argument х ning a dan farqli va unga yaqinlashuvchi barcha {x_n} ketma-ketliklar uchun y = f (x) funksiyaning shu ketma-ketlik nuqtalaridagi qiymatlaridan tuzilgan {f (x_n)} ketma-ketlik b songa yaqinlashsa, b son y = f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki x ^ a dagi) limiti deb ataladi va £im f (x) = b yoki x ^ a da f (x) ^ b ko’rinishda yoziladi.

x^a

f (x) funksiya х=а nuqtada faqat birgina limitga ega bo’ladi. Bu yaqinlashuvchi {f (x„)} ketma-ketlikning yagona limitga ega ekanligidan kelib chiqadi.



9-misol. D( x) =

Dirixle funksiyasi sonlar o’qining hech
fl, agar х ratsional son bo'lsa,

I 0, agar х irratsional son bo'ls a. bir nuqtasida limitga ega emasligi ko’rsatilsin.

Yechish. Son o’qining istalgan x₀ nuqtasini olamiz. x₀ ga yaqinlashuvchi argumentning \x_n} ratsional sonlar ketma-ketligiga funksiyaning {D(x_n)}={l } qiymatlari ketma-ketligi mos bo’lib uning limiti 1 ga teng bo’lishi ravshan. x₀ ga yaqinlashuvchi argumentning {^} irratsional sonlar ketma-ketligiga funksiyaning {D(x_n)} = {0 } qiymatlari ketma-ketligi mos kelib uning limiti 0 ga teng bo’ladi. Shunday qilib, x₀ ga yaqinlashuvchi argumentning {x_n} va {x„} ketma- ketliklariga funksiyaning shu ketma-ketliklarni nuqtalaridagi qiymatlaridan tuzilgan {D(x_n)} va {D(x_n)} ketma-ketliklar har xil limitlarga ega. Bu funksiyaning limitga ega bo’lish ta‘rifiga xilof. Demak D(x) funksiya ^ nuqtada limitga ega emas. x₀ nuqta sonlar o’qining istalgan nuqtasi bo’lganligi uchun u sonlar o’qining hech bir nuqtasida limitga ega emas. Shunday qilib Dirixle funksiyasi aniqlanish sohasining hech bir nuqtasida limitga ega emas ekan.

Ta‘rif. Istalgan s> 0 son uchun shunday S> 0 son mavjud bo’lsaki, |x -a|

tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha a dan farqli х nuqtalar uchun |f (x) - b| < s tengsizlik bajarilsa, b chekli son f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki x ^ a dagi) limiti deb ataladi.

Bu ta‘rifga quyidagicha geometrik izoh berish mumkin. b son f(x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti bo’lganda (a — 8, a + 8) intervaldagi barcha х lar uchun f (x) funksiyaning qiymatlari (b — s, b + s) intervalda yotadi.

Keltirilgan ta‘riflarni teng kuchliligini ko’rsatish mumkin.

x² - 25

x² - 25


Yechish. f (x) =

funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida, masalan (4,6)

10-misol. lim

= 2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang.

^x^⁵ x² - 5x

x ² - 5 x





















x² - 25


x - 5x

- 2

(x - 5)(x + 5)

x( x - 5)

- 2

x + 5

- 2

5 - x

5 - x

x

x

x

x>4 ekanini hisobga olsak |x|=x>4 bo’lib

x - 5x

- 2

< -

5 - x

4

kelib chiqadi. Bundan ko’rinib

x² - 25

intervalda qaraylik. Ixtiyoriy s > 0 sonni ^olib |^{f (x) -} Ц ni x ф 5 deb quyidagicha o’zgartiramiz:







x e

(4; б) uchun

x - 5x

- 2

<— = s tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni f(x) = ^—— 4 x - 5x

x² - 25

turibdiki, 8 = 4s deb olsak, u holda 0 <| x - 5 |< 8 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha

funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.

Ta‘rif. Istalgancha katta M>0 son uchun shunday 8 = 8(M)> 0 son mavjud bo’lib,

| x - a |<8 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha a dan farqli x lar uchun | f (x) |> M tengsizlik bajarilsa, x ^ a da f (x) funksiya cheksizlikka intiladi deb aytiladi va bu lim f (x) = ю kabi

x^a






























11-misol. lim-

1

= да ekani isbotlansin.

Yechish. f (x) =

1

x - 2

funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy

M>0 sonni olsak,

|f (x)| =

1

x - 2

>M tengsizlik |x - 2\ < — bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar 8 = — deb

M

M

olinsa, |x - 2 <8 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun

1

x-2

>M tengsizlik bajariladi. Bu esa x ^ 2 da f (x) =

1

x-2

1

1

x-2

> — =M yoki

8

funksiya cheksizlikka intilishini

bildiradi, ya‘ni lim

1

= да .
yoziladi.

2. 
   Funksiyaning cheksizlikdagi limiti
   

Ta‘rif. Agar f (x) funksiya x ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan s > 0 son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun |f (x) -b| tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son y = f (x) funksiyaning x ^да
















12-misol.

x +1 lim

^x^“ x

1 ekani isbotlansin.

|^{f (x) - b}\ =

x +1

Yechish. f (x) =

x +1

x +1

-1

x

x +1 - x

x

x

funksiyani qaraylik. Istalgan s > 0 sonni olsak

desak, barcha |x|>N uchun

-1

x

1 x + 1

< — = s tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni f (x) = funksiyaning x

N x

¹ bo’lib N =¹ x s

dagi limiti deb ataladi va bu lim f (x) = b kabi yoziladi.

dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.

Ta‘rif. Agar f (x) funksiya x ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun |f (x)| >M tengsizlik bajarilsa, y = f (x) funksiya x ^да da cheksizlikka

intiladi deyiladi va lim f (x) = да kabi yoziladi.

x^да

13-misol. lim x² =да ekani isbotlansin.

x^да

Yechish. f (x) = x² funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib \f (x)| > M tengsizlikni tuzamiz. x²>M, bundan |x| > 4M kelib chiqadi. N = 4M deb olinsa, |x| > N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun x² > N² = M tengsizlik bajariladi. Bu lim x = да ekanini

x^да

bildiradi.

3. 
   Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi
   

Teorema. Agar f (x) funksiyaning a nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda y= f (x) funksiya a nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.

Isboti. lim f (x) = b chekli son bo’lsin. U holda limitni ta‘rifiga binoan istalgan s > 0 son

x—a

uchun shunday 8 > 0 son topilib (a -8, a + 8) intervaldagi barcha x lar uchun |f (x) - b\ yoki |f (x)| - b| < | f (x) - Ь < s , bundan |f (x)| < |b + s bo’lishi kelib chiqadi. Agar M = | b | + s deb olinsa a nuqtaning 8 -atrofidagi barcha x lar uchun |f (x)| < M tengsizlik bajariladi. Bu f (x) funksiya (a -8, a + 8) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.

Agar f (x) funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda —¹—

^{f (x)}

funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz.

Bir tomonlama limitlar

Ta‘rif. Agar f (x) funksiyaning x=a nuqtadagi limitining ta‘rifida x o’zgaruvchi a dan kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b limiti uning x=a nuqtadagi (yoki x — a -0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va b = lim f (x), yoki b = lim f (x), yoki

x —a x—a-0

x

b = f (a - 0) kabi yoziladi.

Agar a=0 bo’lsa, u holda b = lim f (x) = f (-0) kabi yoziladi.

x —>-0

Ta‘rif. Agar f (x) funksiyaning x=a nuqtadagi limiti ta‘rifida x o’zgaruvchi a dan katta bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b₂ limiti uning x=a nuqtadagi (yoki x — a +0 dagi) o’ng tomonlama limiti deb ataladi va b₂ = lim f (x) yoki b₂ = lim f (x), yoki

x—a x——a + 0

x > a

b₂ = f (a + 0) kabi yoziladi.



lim f (x) = f (+0) kabi yoziladi.