O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA ORTA MAXSUS TALIM VAZIRLIGI QARSHI MUHANDISLIK-IQTISODIYOT INSTITUTI
“OLIY MATEMATIKA” KAFEDRASI
Mavzu: Funksiyaning limiti va uzluksizligi
REFERAT
Bajardi: “NGI-112” guruh talabasi Qodirov Ilhom
Qabul qildi: Burxonova Mastura
Qarshi 2015
Mavzu : Funksiyaning limiti va uzluksizligi
Reja:
Funksiyaning nuqtadagi limiti
Funksiyaning cheksizlikdagi limiti
Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi
Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.
Funksiyaning uzluksizligi
Funksiyaning nuqtadagi limiti
f (x) funksiya х=а nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo’lsin (х=а nuqtaning o’zida aniqlanmagan bo’lishi ham mumkin). D(f) -funksiyaning aniqlanish sohasidan limitga ega bo’lgan ixtiyoriy \xn}={x1,x2,....,xn,...} ketma-ketlikni olamiz. f (x) funksiyaning \xn} ketma-ketlikning nuqtalaridagi qiymatlari {f (хя)} ketma-ketlikni tashkil etadi.
Ta‘rif. Argument х ning a dan farqli va unga yaqinlashuvchi barcha {xn} ketma-ketliklar uchun y = f (x) funksiyaning shu ketma-ketlik nuqtalaridagi qiymatlaridan tuzilgan {f (xn)} ketma-ketlik b songa yaqinlashsa, b son y = f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki x ^ a dagi) limiti deb ataladi va £im f (x) = b yoki x ^ a da f (x) ^ b ko’rinishda yoziladi.
x^a
f (x) funksiya х=а nuqtada faqat birgina limitga ega bo’ladi. Bu yaqinlashuvchi {f (x„)} ketma-ketlikning yagona limitga ega ekanligidan kelib chiqadi.
9-misol. D( x) =
Dirixle funksiyasi sonlar o’qining hech
fl, agar х ratsional son bo'lsa,
I 0, agar х irratsional son bo'ls a. bir nuqtasida limitga ega emasligi ko’rsatilsin.
Yechish. Son o’qining istalgan x0 nuqtasini olamiz. x0 ga yaqinlashuvchi argumentning \xn} ratsional sonlar ketma-ketligiga funksiyaning {D(xn)}={l } qiymatlari ketma-ketligi mos bo’lib uning limiti 1 ga teng bo’lishi ravshan. x0 ga yaqinlashuvchi argumentning {^} irratsional sonlar ketma-ketligiga funksiyaning {D(xn)} = {0 } qiymatlari ketma-ketligi mos kelib uning limiti 0 ga teng bo’ladi. Shunday qilib, x0 ga yaqinlashuvchi argumentning {xn} va {x„} ketma- ketliklariga funksiyaning shu ketma-ketliklarni nuqtalaridagi qiymatlaridan tuzilgan {D(xn)} va {D(xn)} ketma-ketliklar har xil limitlarga ega. Bu funksiyaning limitga ega bo’lish ta‘rifiga xilof. Demak D(x) funksiya ^ nuqtada limitga ega emas. x0 nuqta sonlar o’qining istalgan nuqtasi bo’lganligi uchun u sonlar o’qining hech bir nuqtasida limitga ega emas. Shunday qilib Dirixle funksiyasi aniqlanish sohasining hech bir nuqtasida limitga ega emas ekan.
Ta‘rif. Istalgan s> 0 son uchun shunday S> 0 son mavjud bo’lsaki, |x -a|
tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha a dan farqli х nuqtalar uchun |f (x) - b| < s tengsizlik bajarilsa, b chekli son f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki x ^ a dagi) limiti deb ataladi.
Bu ta‘rifga quyidagicha geometrik izoh berish mumkin. b son f(x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti bo’lganda (a — 8, a + 8) intervaldagi barcha х lar uchun f (x) funksiyaning qiymatlari (b — s, b + s) intervalda yotadi.
Keltirilgan ta‘riflarni teng kuchliligini ko’rsatish mumkin.
x2 - 25
x2 - 25
Yechish. f (x) =
funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida, masalan (4,6)
10-misol. lim
= 2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang.
x^5 x2 - 5x
x 2 - 5 x
x2 - 25
x - 5x
- 2
(x - 5)(x + 5)
x( x - 5)
- 2
x + 5
- 2
5 - x
5 - x
x
x
x
x>4 ekanini hisobga olsak |x|=x>4 bo’lib
x - 5x
- 2
< -
5 - x
4
kelib chiqadi. Bundan ko’rinib
x2 - 25
intervalda qaraylik. Ixtiyoriy s > 0 sonni olib |f (x) - Ц ni x ф 5 deb quyidagicha o’zgartiramiz:
x e
(4; б) uchun
x - 5x
- 2
<— = s tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni f(x) = ^—— 4 x - 5x
x2 - 25
turibdiki, 8 = 4s deb olsak, u holda 0 <| x - 5 |< 8 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha
funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.
Ta‘rif. Istalgancha katta M>0 son uchun shunday 8 = 8(M)> 0 son mavjud bo’lib,
| x - a |<8 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha a dan farqli x lar uchun | f (x) |> M tengsizlik bajarilsa, x ^ a da f (x) funksiya cheksizlikka intiladi deb aytiladi va bu lim f (x) = ю kabi
x^a
11-misol. lim-
1
= да ekani isbotlansin.
Yechish. f (x) =
1
x - 2
funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy
M>0 sonni olsak,
|f (x)| =
1
x - 2
>M tengsizlik |x - 2\ < — bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar 8 = — deb
M
M
olinsa, |x - 2 <8 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun
1
x-2
>M tengsizlik bajariladi. Bu esa x ^ 2 da f (x) =
1
x-2
1
1
x-2
> — =M yoki
8
funksiya cheksizlikka intilishini
bildiradi, ya‘ni lim
1
= да .
yoziladi.
Funksiyaning cheksizlikdagi limiti
Ta‘rif. Agar f (x) funksiya x ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan s > 0 son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun |f (x) -b| tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son y = f (x) funksiyaning x ^да
12-misol.
x +1 lim
x^“ x
1 ekani isbotlansin.
|f (x) - b\ =
x +1
Yechish. f (x) =
x +1
x +1
-1
x
x +1 - x
x
x
funksiyani qaraylik. Istalgan s > 0 sonni olsak
desak, barcha |x|>N uchun
-1
x
1 x + 1
< — = s tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni f (x) = funksiyaning x
N x
1 bo’lib N =1 x s
dagi limiti deb ataladi va bu lim f (x) = b kabi yoziladi.
dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.
Ta‘rif. Agar f (x) funksiya x ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun |f (x)| >M tengsizlik bajarilsa, y = f (x) funksiya x ^да da cheksizlikka
intiladi deyiladi va lim f (x) = да kabi yoziladi.
x^да
13-misol. lim x2 =да ekani isbotlansin.
x^да
Yechish. f (x) = x2 funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib \f (x)| > M tengsizlikni tuzamiz. x2>M, bundan |x| > 4M kelib chiqadi. N = 4M deb olinsa, |x| > N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha x lar uchun x2 > N2 = M tengsizlik bajariladi. Bu lim x = да ekanini
x^да
bildiradi.
Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi
Teorema. Agar f (x) funksiyaning a nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda y= f (x) funksiya a nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.
Isboti. lim f (x) = b chekli son bo’lsin. U holda limitni ta‘rifiga binoan istalgan s > 0 son
x—a
uchun shunday 8 > 0 son topilib (a -8, a + 8) intervaldagi barcha x lar uchun |f (x) - b\ yoki |f (x)| - b| < | f (x) - Ь < s , bundan |f (x)| < |b + s bo’lishi kelib chiqadi. Agar M = | b | + s deb olinsa a nuqtaning 8 -atrofidagi barcha x lar uchun |f (x)| < M tengsizlik bajariladi. Bu f (x) funksiya (a -8, a + 8) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.
Agar f (x) funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda —1—
f (x)
funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz.
Bir tomonlama limitlar
Ta‘rif. Agar f (x) funksiyaning x=a nuqtadagi limitining ta‘rifida x o’zgaruvchi a dan kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b limiti uning x=a nuqtadagi (yoki x — a -0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va b = lim f (x), yoki b = lim f (x), yoki
x —a x—a-0
x
b = f (a - 0) kabi yoziladi.
Agar a=0 bo’lsa, u holda b = lim f (x) = f (-0) kabi yoziladi.
x —>-0
Ta‘rif. Agar f (x) funksiyaning x=a nuqtadagi limiti ta‘rifida x o’zgaruvchi a dan katta bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b2 limiti uning x=a nuqtadagi (yoki x — a +0 dagi) o’ng tomonlama limiti deb ataladi va b2 = lim f (x) yoki b2 = lim f (x), yoki
x—a x——a + 0
x > a
b2 = f (a + 0) kabi yoziladi.
lim f (x) = f (+0) kabi yoziladi.
8>
Do'stlaringiz bilan baham: |