Referat bajardi: " ngi-112" guruh talabasi Qodirov Ilhom Qabul qildi

x—+0
Agar a=0 bo’lsa, u holda b₂

f (x) funksiyaning x=a nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama limitlar deb ataladi. b = b bo’lsa, u holda f(x) funksiya x=a nuqtada limitga ega.

Aksincha, f (x) funksiyaning a nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni f (a - 0) = f (a + 0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya a nuqtada limitga ega bo’ladi.

Masalan,

	1,	agar	x > 0	bo' Is a,
f (x) = signx = •	0,	agar	x=0	bo' Is a,
	-1,	agar	x < 0	bO Is a

funksiya х=а nuqtada limitga ega emas, chunki f (-0) =-1, f (+0) =1 va f (-0) ^ f (+0) (86-chizma). Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega.

4. 
   Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.
   

Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz.

Bunda isbot faqatgina x — a hol uchun o’tkaziladi (x — да da shunga o’xshash isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun, x — a ni ham, x — да ni ham yozmaymiz.

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni

lim(^ (x) + u₂ (x) +... + u_n (x)) = lim щ (x) + lim u₂ (x) +... + lim u_n (x)

Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. limu_x(x) = a, limu₂(x) = b bo’lsin. U holda lim(u(x) + u₂(x)) = a + b tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz. Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan щ = a + a, u₂ = b + 0 deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi а, в- cheksiz kichik funksiyalar.




















x² - 4


1-misol. lim

= li_m ^^x—^{2)(x + 2)} = lim(x + 2) = lim x + lim 2 = 2 + 2 = 4 .

x—2 x 2 x—2 x 2 x—2 x—2 x—2

2-misol. lim

x—да

x

= lim

x —да

^x⁴

5x

2 Л

5

5

= liml 1 1 = liml- lim — = 1 -0 = 1.

x

x

x—да

x

x—да x —да

x

x⁴ - 5x²

Demak, щ + u₂ = (a + a)+(b + 0) = (a + b)+(a + 0). Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, а+в- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak lim(u + u₂) = a + b = limщ + limu₂ ekanligi kelib chiqadi.

Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni lim(u (x) • u₂ (x) •... • щ (x)) = lim щ (x) • lim u₂ (x) •... • lim щ (x)

Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz. limщ = a, limu₂ = b bo’lsin. U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan щ = a + a, u₂ = b + 0 bo’ladi, a, P-cheksiz kichik funksiyalar. Demak, щ • u₂ = (a + a)^(b + 0) = ab + (ab + a0 + a0). Bu tenglikdagi ab- o’zgarmas son, (ab + a0 + a0)- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi qismini qo’llasak limщ • u₂ = ab = limщ • limu₂ ekanligi kelib chiqadi.

3-misol. lim(x + 3)(x - 4) = lim(x + 3) lim(x - 4) = [lim x + lim 3] • [lim x - lim 4] =

x—>2 x—>2 x—>2 x—>2 x—>2 x—— 2 x——2

= (2 + 3)(2 - 4) = 5 • (-2) = -10.

lim I 2-\ | = (1 - 0)(2 + 0) = 2.

^x—a\ x )

limit belgisidan chiqarish mumkin, ya‘ni
4-misol. lim|1 - — 2 - -¹| = lim|1 - — |

^x—K\ x X x ) ^x—K\ x)

Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini lim C • u(x) = C lim u(x) chunki lim C = C.

5-misol. lim 7x¹ = 7 lim x² = 7 • (—1)² = 7 .

x———1 x———1

Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar limv Ф 0 bo’lsa,

u limu . „

lim —= bo ladi.

v lim v

Isboti. lim u(x)=a, lim v(x)=b^0 bo’lsin. U holda u = a + a, v = b + P bo’lishini hisobga







u a+a a a+a a

v b + P b _K b + P b j

a ab + ab — ab — aP a ab — aP

b ⁺

b(b + P)

b b(b + P)
olsak

tenglikka ega bo’lamiz, bunda — -o’zgarmas son, ——— - cheksiz kichik funksiya, chunki

b b(b + P)

ab — aP cheksiz kichik funksiya va b(b + P)^0.

_ , . _л ^ u a limu

So nggi tenglikka 16.5-teoremani 2-qismini qo llasak lim —= — =

v b lim v






tenglik

6-misol. lim

2 x + 3

x—² 3x +1

ni toping.
hosil bo’ladi.

Yechish. lim(3x +1) = 3 • 2 +1 = 7 Ф 0 . Shuning uchun:







7

7

1.

7-misol. lim

x +1

ni toping.

x— X — 3

x—2

Yechish. lim(x — 3) = 3 — 3 = 0 bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi.

x—3

Suratning limiti lim(x +1) = 3 +1 = 4 Ф 0 bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini

x—3

. x — 3 ^{lim(x — 3)} 3 — 3 0 _л

topamiz: lim = —³ = =—= 0.

^x—3 x +1 lim (x +1) 3 +1 4





Bundan lim

x +1

ro kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz
x—3

katta funksiya bo’ladi.

Teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha x lar uchun y=^fx) > ⁰ v^a lim f (x) = b (b-chekli son) bo’lsa, u holda b > 0 bo’ladi.

x—а

Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya‘ni lim f (x) = b bo’lib b<0 bo’lsin. U holda fx)-

x—a

b\> \b|>0 bo’lishi ravshan. Oxirgi tengsizlik fx)-b ayirmaning nolga intilmasligini, ya‘ni b sonfx) funksiyaning x — a dagi limiti emasligini ko’rsatadi. Bu teoremaning shartiga zid, binobarin b<0 degan faraz shu ziddiyatga olib keldi. Demak,fx)> 0 bo’lsa lim f (x) > 0 bo’lar ekan.

x—a

Shunga o’xshash limitga ega f (x) < 0 funksiya uchun lim f (x) < 0 bo’lishini isbotlash

x—a

mumkin.

Boshqacha aytganda nomanfiy funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti manfiy son bo’laolmas ekan va nomusbat funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti musbat son bo’laolmas ekan.

Teorema. Agar x — a da limitga ega f_x(x) va f₂(x) funksiyaning mos qiymatlari

uchun f (x) > f₂(x) tengsizlik bajarilsa, u holda lim f (x) > lim f₂(x) bo’ladi.

REFERAT 1

= 1 +1+-L (1 --L 1+_L_ (1 -_!_ Y1-_!. ]+...+ 15

1+1 T >f1+11 >f1 +¹ 18

^t ^+^да1 t ) ^t ^+^да1 t) ^t ^+^да1 t) v t) 18

1+1 y) 19

1+1 y) 19

^f (^x) g^(x) 27

S_x -atrofi mavjudki, undagi barcha x lar uchun | u(x) -b \ tengsizlik bajariladi. Shunga

o’xshash shu £ >0 son uchun a ning S₂ -atrofi mavjud bo’lib undagi barcha x lar uchun

| z(x) -b |< £ tengsizlik bajariladi. Agar 8 orqali S_x va S₂ sonlarning kichigini belgilasak a

nuqtaning 8 -atrofidagi barcha x lar uchun | u(x) -b \ va | z(x) -b |< £ tengsizlik bajariladi. Bular

-£< u(x) — b <£ va -£< z(x) — b <£ (17.1)

tengsizliklarga teng kuchli.

Endi teorema shartidagi u(x) < v(x) < z(x) tengsizliklarni unga teng kuchli u(x) - b < v(x)- b < z(x) - b tengsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil b son ayirildi).

Bunga (17.1) tengsizliklarni qo’llasak -s< u(x) - b < v(x)-b < z(x) - b <£ yoki bundan - £ £ tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib a nuqtaning 8 -atrofidagi barcha x lar uchun - £ £ tengsizlik o’rinli ekan.

Bu lim v(x)=b ekanini bildiradi.

x—a

Bu teoremani hazillashib «Ikki militsioner haqidagi teorema» deb atashadi. Nima uchun shunday deb atalishini o’ylab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz.

8-misol. lim sin л = 0 isbotlansin.

x^-0

Yechish. Radiusi 1 ga teng aylanani qaraymiz.

АС -

87-chizmadan: x>0 bo’lsa = sin x; АС= sin x, АВ =x

ОА

(markaziy burchak o’zi tiralgan yoy bilan o’lchanadi), AC< АВ yoki sin x

Shunday qilib x>0 uchun 0< sin x

87-chizma.

uchun 0<| sinx |<|x| tengsizliklarga ega bo’ldik. lim 0 = limx=0 ekanligini hisobga olsak 17.6-

x^0 x^0

teoremaga binoan lim sin x = 0 ekanligi kelib chiqadi.

x^0

x

9-misol. lim sin — = 0 isbotlansin.

Yechish. 0 <

. x

sin — 2

< Isin x| ekani ravshan. lim 0 = limlsin x|=0 bo’lgani uchun 17.6­^{1 1} x ^0 x^a ¹

teoremaga binoan lim

x^0

. x sin — 2

. x

= 0 yoki lim sin— = 0 kelib chiqadi.

x^0 2
x^0 2

10-misol. lim cosx = 1 ekanligi isbotlansin.

x^0



.2 х
Yechish. 2s i h^X = 1 - со x yoki cos x = 1 - 2sin² ^ ekanligini e‘tiborga olsak

lim cos x = lim I 1-2sin^2X I = 1-2limsin^2X = 1 -2• 0² = 1 hosil bo’ladi.

Birinchi ajoyib limit

sin x

funksiya faqat х=0 nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada kasrning surati ham,

x
x^0 x^0 1 2 ) x^0 2






Teorema.

sin x

x

funksiya х ^ 0 da 1 ga teng limitga ega.
mahraji ham 0 ga aylanib uni o’zi 0 ko’rinishga ega bo’ladi. Shu funksiyaning х ^ 0 dagi limitini topamiz. Bu limit birinchi ajoyib limit deb ataladi.

Isboti. Radiusi 1 ga teng aylana olib АОВ markaziy burchakni х bilan belgilaymiz va u

n i .
0, — I intervalda yotadi deb faraz qilamiz (87-chizma).

Chizmadan ko’rinib turibdiki,

А АОВ yuziDOB yuzi (17.2).

Biroq, А АОВ yuzi = 10А ■ ОВ ■ sin x = 1 -1 • lsin x = 1sin x (uchburchakning yuzi ikki tomoni va

ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining yarmiga teng).

АОВ sektor yuzi = ¹0В² ■ АВ = ¹ ■ l² ■ х =¹ x,

2 2 2

A DOB yuzi =¹0В ■ ВD = ¹0В ■ = ¹ ■ 1 ■ tgx = ¹ tg x.

2 2 12 2

Shu sababli (17.2) tengsizliklar 1sin x < 1 x < 1 tgx ko’rinishni yoki 1 ga qisqartirilgandan so’ng



ж
sinxtgx ko’rinishni oladi. Buning barcha hadlarini sinx>0 ga bo’lamiz I 0< x<— I. U

х 1 , • _л sin x

holda 1< < yoki 1> > cos x

sin x cos x x

tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklar x>0 deb faraz qilinib chiqarildi.

^{sin( x)} = ^{sin x}, cos(-x) = cosx ekanligini e‘tiborga olib, bu tengsizliklar x<0 bo’lganda ham

(- x) x