Покажем, что если правые части всех уравнений (А.29) неотрицатель-
ны и граничные условия обеспечивают неотрицательность глубин на левой
и правой границах, то и все глубины будут неотрицательными. Допустим,
что некоторое
ĥ
i
+1⁄2
< 0 а все остальные ≥ 0. Такого не может быть, т.к. тогда
левая часть < 0, а правая часть ≥ 0. Тогда и
ĥ
i
+3⁄2
должно быть < 0, причем
|
ĥ
i
+3⁄2
| > |
ĥ
i
+1⁄2
|. Рассмотрев аналогичное (А.29) уравнение относительно
ĥ
i
+3⁄2
, получим, что для обеспечения неотрицательности левой части необ-
ходимо условие |
ĥ
i
+1⁄2
| > |
ĥ
i
+3⁄2
|,что противоречит предыдущему условию.
Пусть все
ĥ
< 0. Тогда |
ĥ
i
+1⁄2
| < |
ĥ
i
-1⁄2
| и |
ĥ
i
+1⁄2
| < |
ĥ
i
+3⁄2
|. Перейдя к сле-
дующему узлу, опять придем к противоречию. Вообще-то это следует и из
принципа максимума: если в начальный момент все
h
≥ 0 и на границах
h
(
t
) ≥ 0, то и везде в области для уравнения диффузии будет
h
(
х
,
t
) ≥ 0 (см.
ссылки в статьях [Маханов, Семенов, 1994, 1996]).
Осталось заметить, что неотрицательность
правых частей системы
уравнений (А.29) обеспечивается выбором шага по времени, аналогичном
описанному ранее, но по скорости, которая определяется только скоростью
конвективного переноса глубины (без учета скорости диффузии). Таким
образом, схема (А.29) гарантирует неотрицательность глубин при соответ-
ствующем выборе τ.
Неявная схема (А.29) переходит в явную при
D
i
<< Δ
2
/τ = Δ maх|
U
i
|,
или
gh
2
<<
λ
|
U
|maх|
U
|Δ,
или gmaх
h
2
<<
λ
maх|
U
|
2
Δ, или maх
h
<< max
U
(λΔ/g)
1/2
, или maх
h
<< maх√(
h
|Δζ| Δ), или maх
h
<< Δζ. Наоборот, при
D
î
1, т.е. при maх
h
Δζ, вклад переносной части очень мал, т.е. получается
чисто уравнение диффузии (это может быть и при больших уклонах, но при
очень маленьких шагах по пространству). В этом случае вместо сноса глу-
бины вниз по потоку можно брать полусумму глубин при вычислении
D
i
,
что обеспечит второй порядок точности по пространству, либо применять
гибридный вариант (реализован на практике):
Представленная схема построена так, что при |
∂z
/
∂х
|
>>
|
∂h
/
∂х
| уравне-
ние неразрывности работает как уравнение переноса для
h
, а при обратном
неравенстве как уравнение диффузии для
h
. Она перекрывает весь диапа-
зон изменений расчетных параметров (при условии, что не надо учитывать
∂Q
/
∂t
и конвективные члены) и обеспечивает
отсутствие гидродинамиче-
ских разрывов и отрицательных глубин (при соответствующем выборе
τ
).
Описанная выше «неотрицательная» разностная схема для уравнений
диффузионной волны применялась при моделировании
склонового стока
с Москворецкого бассейна (глава 5) и на водосборе р. Кубань и показала
высокую эффективность и надежность расчетов при больших уклонах во-
досборов.
Приложение А. Численные алгоритмы решения одномерных уравнений мелкой воды
(A.30)
327
[Алабян, Беликов,
Баталкина, 1998]
Алабян А.М., Беликов В.В., Баталкина С.А,
Модель паводко-
вых течений и ее интеграция в ГИС //Труды семинара «Гео-
информационные системы (ГИС) и их возможности в водном
секторе». М., ГИС-Ассоциация, 1998, с.55–57.
[Алексеевский и
др., 2014]
Алексеевский Н.И., Крыленко И.Н., Беликов В.В., Кочетков В.В.,
Норин С.В.
Численное гидродинамическое
моделирование
наводнения в г.Крымске 6-7 июля 2012 г // Гидротехническое
строительство, №3, 2014, с. 29-35 / Alekseevskiy N.I., Krylen-
ko I.N., Belikov V.V., Kochetkov V.V., Norin S.V. Numerical
Hydrodynamic Modeling of Inundation in Krymsk on 6 – 7 July
2012 // Power Technology and Engineering, vol. 48 (3), 2014, p.
179–186. https://doi.org/10.1007/s10749-014-0505-y.
[Алексюк,
Беликов, 2017а]
Алексюк А.И., Беликов В.В
. Моделирование
течений мелкой
воды с областями обмеления и разрывами дна // Журнал вы-
числительной математики и математической физики, т. 57 (2),
2017, с. 316–338. / Aleksyuk A. I., Belikov V. V. Simulation of
shallow water flows with shoaling areas and bottom discontinuities
// Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 57
(2), 2017, p. 318–339.
[Алексюк,
Беликов, 2017б]
Алексюк А.И., Беликов В.В
. Программный комплекс STREAM
2D HPC для расчета течений, деформаций дна и переноса за-
грязнений в открытых потоках с использованием технологий
OpenMP (на многопроцессорных системах с общей памятью)
//Свидетельство о государственной регистрации программ
для ЭВМ № 2017660244 от 20.09.2017
[Алексюк,
Беликов, 2017в]
Алексюк А.И., Беликов В.В.
Программный комплекс STREAM
2D CUDA для расчета течений, деформаций дна и переноса
загрязнений в открытых потоках с использованием техно-
логии CUDA (на графических процессорах NVIDIA) // Сви-
детельство о государственной
регистрации программы для
ЭВМ. 2017. № 2017660266.
[Атавин,
Васильев, 1975]
Атавин А.А., Васильев О.Ф
. Методы расчета неустановив-
шихся течений в системах открытых русел и каналов // Чис-
ленные методы механики сплошной среды. № 4, т. 6, 1975.
[Атлас, 2006]
«Атлас единой глубоководной системы европейской части
РФ» т. 8, часть II «Волго-Донской водный путь от Волгодон-
ска до устья Дона» изд. ГБУ «Волго-Балт» 2006 г.
[Базаров,
Mилитеев, 1999]
Базаров Д.Р. Mилитеев А. Н
. Двухмерные (в плане) уравнения
для потоков с размываемым дном // Водные ресурсы ,1999, т.
26, №1.
[Бахметев, 1934]
Бахметев Б.А
. Гидравлика открытых русел / Б.А. Бахметев,
М, 1934.
Do'stlaringiz bilan baham: 
