Речной гидродинамики

A.1. Конечно-разностная схема для решения
одномерных уравнений Сен-Венана
Экономичные разностные схемы для одномерных уравнений Сен-Ве-
нана (1.3.1), (1.3.2) и уравнения переноса (1.3.3) (см. п.1.3.1) построим на 
основе идей, изложенных в [Милитеев, 1982]. Разобьем расчетный отрезок 
оси 0X [
x
л
, 
x
п
] на N-1 отрезков, которые будем называть ячейками сетки. 
Точки разбиения будем называть узлами сетки и их координаты обозначать 
через 
x
i
, (
i
= 1,…N), причем 
x
1
= 
x
л
, 
x
N
= 
x
п
. Середины ячеек будем называть 
полуцелыми узлами. В узлах сетки будем вычислять расходы и скорости 
Q
i
, 
U
i
, в полуцелых узлах все остальные величины, прописывая им индекс 
i
+ 
½ (
i
= 1...N-1). Введем обозначения
Начнем с аппроксимации уравнения неразрывности. Интегрируя (1.3.2) по 
отрезку [
x
i
, x
i
+1
] с учетом того, что
(А1)
получим с точностью до членов порядка 
Заменяя производную по времени разностью вперед и деля послед-
нее равенство на 
Δ
i
, получим
(А2)
где τ – шаг по времени, символ "~" помечает величину, взятую с ниж-
него слоя по времени.
Аналогично, интегрируя (1.3.1) по отрезку [
x
i
-1⁄2
, 
x
i
+1⁄2
], деля на 
Δ
i
-1⁄2
= 
0,5·(
Δ
i
-1
+ 
Δ
i
) и заменяя производную по времени разностью вперед, 
получим
318
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

Величина 
ΔA
i
является малой по сравнению с главным членом в выражении 
для 
A
i
. Она возникает из-за переменной ширины русла. Равенства (5) полу-
чены с использованием следующего тождественного преобразования
Используя (4), (5), преобразуем (3) к виду
(A.6)
Выразим теперь 
ζ
i
+1⁄2
из уравнения неразрывности (2), причем 
∂ω
⁄ 
∂ζ
за-
меним величиной 0,5 · (
B
+ 
B
̃)
i
+1⁄2
, где 
B
– ширина русла по урезу:
(A.7)
Соответственно будем иметь
(A.8)
Подставив (7), (8) в (6), получим окончательную разностную форму 
уравнения движения:
(A.9)
(A3)
(A4)
(A5)
Приложение А. Численные алгоритмы решения одномерных уравнений мелкой воды
319

---

Система уравнений (9) относительно величин 
Q
i
имеет трехдиагональ-
ную матрицу коэффициентов, и ее удобно решать методом прогонки [Са-
марский, 1977; Роуч, 1980]. При этом граничные условия вида (1.3.9) или 
(1.3.10) задаются следующим образом. На левой границе при 
x
= 
x
1 задаем 
Q
1
= 
Q
л
(
t
), а в случае бурного потока на входной границе к этому условию 
добавляется еще условие 
U
= 
U
л
(
t
). На правой границе задается производная 
(
∂Q
⁄ 
∂x
)
N
, которая вычисляется с помощью уравнения неразрывности. Имея 
в виду, что 
ζ
N
-1⁄2
(
Q
) задана из (2), будем иметь
(A.10)
Способ реализации граничных условий первого или второго рода в мето-
де прогонки подробно оговорен в [Самарский, 1977; Роуч, 1980].
Решив (9), из (7) находим 
ζ
1+1⁄2
при i = 1…N-1. Таким образам вычис-
ляются 
Q
, 
ζ
на новом шаге по времени. Однако для резко изменяющихся 
во времени и пространстве течений (сильная нестационарность, русло пе-
ременного сечения) такая схема будет недостаточно точна. Для улучшения 
свойств схемы в [Милитеев, 1982] предлагается итерировать систему (7), (9) 
на каждом шаге по времени до сходимости, например, по 
Q
с заданной точ-
ностью 
ε
. Итерации организуются следующим образом. После вычисления 
новых 
Q
i
, 
ζ
i
+1⁄2
пересчитываются 
B
i
+1⁄2
, 
R
i
+1⁄2
, 
ω
i
+1⁄2
, 
ΔA
 i
, 
U
i
и вновь решаются 
(7), (9). 
Итерации прекращаются при выполнении условия
(A.11)
где 
r
– номер итерации,
Q
ср
= ∑
i 
| 
Q
i
| 
N
.
Наряду с основным вариантом схемы для решения уравнений Сен-Вена-
на (схема 1) существует ряд её модификаций.
Схема 3 отличается от схемы 1 несколько иной аппроксимацией конвек-
тивного члена (выделение главного члена), а именно разностным аналогом 
∂QU
⁄ 
∂x
является
(A.12)
В схеме 5 также по-другому вычисляется конвективный член и скорости 
в узлах (схема с направленными разностями):
(A.13)
Схемы 2, 4, 6 отличаются соответственно от схем 1, 3, 5 другой аппрок-
симацией правой части уравнения движения, учитывающей асимптоту ре-
320