Речной гидродинамики

Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

шения в бьефах большой протяженности (здесь не рассматриваются). Опыт 
численных расчетов показал, что лучшие результаты дает схема 1.
Рассмотрим теперь алгоритмы решения уравнения переноса (1.3.3). Бу-
дем задавать концентрацию в полуцелых узлах. Вводя обозначения 
θ
= 
ωS
, 
θ
н
= 
ωS
н
, интегрируя (1.3.3) по отрезку [
x
i
, 
x
i
+1
] и заменяя производную по 
времени разностью вперед, получим
После преобразований получим для уравнения переноса систему урав-
нений относительно 
θ
i
+1⁄2
с трехдиагональной матрицей:
(A.15)
Эта система решается при следующих граничных условиях:
(A.16)
Легко видеть, что схема (А.14) согласована со схемой для уравнений 
Сен-Венана. Действительно, при 
S
= const и 
K
= 0 первое из уравнений 
(А.14) совпадает с уравнением неразрывности. Это гарантирует, что в про-
цессе счета не появятся нефизические источники концентрации (подробнее 
см. [Милитеев, 1982]).
Наряду с рассмотренной неявной симметричной разностной схемой (на-
зовем ее схемой 1) реализована также неявная схема «бегущего счета» (схе-
ма 2) для уравнения переноса. Она имеет вид
(A.17)
и также согласована со схемой для уравнения неразрывности.
В заключение отметим, что при совместном решении полной системы 
уравнений (1.3.1) – (1.3.3), т.е. при решении систем разностных уравнений 
(А.7),(А.9),(А.14) или их модификаций итерации ведутся целиком по всей 
системе уравнений до выполнения критерия (А.11).
Приложение А. Численные алгоритмы решения одномерных уравнений мелкой воды
(A.14)
321

---

Коснемся здесь также алгоритма расчета русловой сети. Для расчета те-
чений в системе русел известно два подхода. Первый основан на задании 
и решении системы разностных уравнений на графе [Васильев, Темноева, 
Шугрин, 1965; Воеводин, Шугрин, 1981], второй, используемый нами, ос-
нован на итерационной процедуре. Суть ее состоит в следующем. 
Для каждого русла система уравнений (1.3.1)–(1.3.3) дискретизируется и 
решается (на каждом шаге по времени) независимо, но с учетом граничных 
условий, рассчитанных в узлах стыковки на предыдущей итерации. Вид 
этих граничных условий хорошо известен и является, по сути, аналогом 
законов Киркгофа в гидравлике (равенство уровней и алгебраическое сум-
мирование расходов воды в узлах стыковки). Могут дополнительно быть 
учтены и местные потери импульса при слиянии.
На каждом шаге по времени итерации начинаются с наиболее полново-
дных (основных) русел и далее переходят к притокам по степени убывания 
водности. Поскольку для обеспечения хорошей точности нестационарных 
расчетов по уравнениям Сен-Венана все равно необходимы итерации по не-
линейности, данный подход не является обременительным с вычислитель-
ной точки зрения, и в месте с тем несложен в реализации.