Raqamlim tenalogiyalar

2.2 Interpolyatsion kvadratur formulalar
Faraz qilaylik, [ a,b] oraliqda o‘zi va n + 1 tartibgacha hosilalari uzluksiz bo‘lgan _{ }) funksiyadan _{ } vazn funksiya bilan olingan integralni taqribiy hisoblash lozim bo‘lsin. Buning uchun [a,b] ga tegishli va turli bo‘lgan _{ },
_{ } tugun nuqtalar olib _{ } funksiyaning n-tartibli Lagranj interpolyatsion ko‘phadini tuzamiz, ya’ni
_{ } (4)
Bu yerda _{ } –qoldiq had.
(3) tenglikning ikki tomonini _{ } vazn funksiyaga ko‘paytirib, [ a,b] oraliq bo‘yicha integrallasak,

ni hosil qilamiz. Agar interpolyatsiyalash yetarlicha yaxshi o'tkazilgan bo‘lsa,
_{   } uchun kichik miqdordir,undan olingan integralning qiymatini ham kichkina deb,tashlab yuborsak

Kvadratur formulaga ega bo’lamiz.Bunda

Yuqorida ko’rsatilgan tartibda hosil qilingan (5) formula,odatda, interpolyatsion kvadratur formula deyiladi va uning algebraik aniqlik darajasi n ga teng .Uning qoldiq hadi

ko’rinishga ega.
Kvadratur formulalar
1._{ 
 },_{ }


2._{ }





3. _{ }












2.3 Gauss tipidagi kvadratur formula.
Quyidagi kvadratur formulani qaraymiz:

bu yerda _{ } 0 vazn funksiya _{ }, _{ } noma’lumdir.
Bu noma'lumlami shunday aniqlash lozimki, (6) ning algebraik aniqlik darajasi _{ } ga teng bo'lsin. Quyidagi teorema o‘rinlidir:
Teorema.(6) kvadratur formulaning algebraik aniqlik darajasi _{ } ga teng bo’lishligi uchun uning tugun nuqtalari _{ } da _{ } vazn funksiya bilan n-darajali ortogonal ko‘phadning ildizlari bo’lishligi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zamriyligi. Faraz qilaylik, (6) ning algebraik aniqlik darajasi _{ } bo’lsin. Tugun nuqtalami turli deb hisoblasak, (6) ning interpolyatsiyaligi ta’minlanadi. Teoremadagi ortogonal ko‘phadni _{ }deb belgilaylik. Darajasi _{ } dan kichik bo’lgan ixtiyoriy ko‘phad _{ } ni olib, _{ } deylik. Bu ko'phadning darajasi _{ } dan ortmaydi. Shuning uchun ham uni (6) formula aniq integrallaydi:

Bu yerda, shartga ko‘ra, integral nolga teng, o‘ng tomon ham nolga
teng boiishligi uchun _{ } shartlar bajarilishi kerak._{ } ning barcha qiymatlari uchun nolga aylanmaydi,chunki u darajasi n dan kichik ixtiyoriy ko’phad.
Yetarliligi. Faraz qilaylik, (6) interpolyatsion va _{ }
vazn bilan ortogonal ko‘phad bo‘lsin.
Endi (6) ning algebraik aniqlik darajasi _{ } ligini ko‘rsatamiz. Agar _{ } ) darajasi _{ } dan katta bo‘lmagan ko‘phad bo’lsa, uni

ko’rinishida yozish mumkin.Bu yerda _{ }larning darajasi n dan kichik.Bu tenglikning ikkala tomonini _{ } ga ko’paytirib, a dan b gacha integralllaymiz:

Shartga ko‘ra, o‘ng tomondagi birinchi integral nolga teng, ikkinchi integraldagi _{ } darajasi n dan kichik ko‘phad bo‘lganligi, (6)ning interpolyatsionligi va (7) dan_{ } ekanligini e'tiborga olsak,

kelib chiqadi. Shu bilan yetarlilik sharti ham isbotlandi.
Gauss tipidagi kvadratur formula quyidagi xossalarga ega:

1. 
   xossa. (6) kvadratur formulaning tugun nuqtalari va koeffitsiyentlari har qanday tanlanganda ham (6) ning algebraik aniqlik darajasi ortmaydi.
   
2. 
   xossa. (6) kvadratur formulaning barcha koeffitsiyentlari musbatdir.
   
3. 
   xossa. Agar [a,b] chekli va f(x ) bu oraliqda uzluksiz boisa, u holda Gauss tipidagi kvadratur formula yaqinlashadi: