R. M. Turgunbaev matematik analiz

6-§. Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari
1. y=x^µ (x>0) darajali funksiyaning hosilasi
Bu funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi _∆y=(x+_∆x)^µ-x^µ=x^µ((1₊ ^∆x )^µ-1) ga x
teng va ^∆∆yx xµ−1 (1+ ∆∆xxx)µ −1 bo‘ladi. Ma’lumki, limx→0(1+ xx)µ −1 =µ. Shuning =
x

∆x _µ

uchun _=µx^µ−1 . Bundan funksiyaning x nuqtadagi
0 ∆ x
hosilasi mavjud va y’=_µx^µ-1 bo‘ladi.
Demak, (x^µ)’=_µx^µ-1 va d(x^µ)=_µx^µ-1dx formulalar o‘rinli.
Murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash va differensiali formulalarini foydalangan holda, (u(x))^µ ko‘rinishdagi murakkab funksiya uchun quyidagi formulalarni yozish mumkin:
((u(x))^µ)’=_µ(u(x))^µ-1_⋅u’(x), d((u(x))^µ)= _µ(u(x))^µ-1_⋅u’(x)dx.
Masalan y=(x²+1)³ funksiyaning hosilasini topish talab qilinsin. Bu misolda u(x)=(x²+1), _µ=3. Demak, yuqoridagi formulaga ko‘ra y’=3(x²+1)²_⋅((x²+1)’=3((x²+1)²_⋅2x=6x(x²+1)² bo‘ladi.
2. Ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi. y=a^x (a>0, a_≠1) ko‘rsatkichli funksiya uchun _∆y=a^x+∆x -a^x=a^x(a^∆x-1) va
∆y = a^x( a^∆x −1⁾.

∆x ∆x

Ma’lumki, lim ^{a∆x −1} ₌ lna. Shuning uchun lim ^∆y ₌ lim a^{x a∆x −1}=
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
=a^xlna mavjud. Demak (a^x)’=a^xlna va d(a^x)’=a^xlnadx, xususan, (e^x)’=e^x va d(e^x)’=e^xdx formulalar o‘rinli ekan.
Ko‘rinib turibdiki, y=e^x funksiya ajoyib xossaga ega: uning hosilasi o‘ziga teng ekan.
M isol. y=e^x funksiya grafigi Oy o‘qini qanday burchak ostida kesib o‘tadi?
Yechish. Funksiya grafigi Oy o‘qini (0;1) nuqtada kesib o‘tadi. Funksiya grafigiga shu nuqtasida o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y’=e^x va y’(0)=e⁰=1, bundan esa urinmaning Ox o‘qi bilan kattaligi π/4 ga teng bo‘lgan burchak tashkil qilishi kelib chiqadi. U holda urinma Oy o‘qi bilan ham kattaligi π/4 ga teng bo‘lgan burchak tashkil qiladi.
1-rasmda y=e^x funksiya grafigi
berilgan, bunda funksiya grafigi 10-rasm x=0 nuqta atrofida y=x-1 to‘g‘ri chiziqqa urinadi.
Yuqoridagi misolda olingan natija e soniga quyidagicha ta’rif berishga imkon beradi: e soni deb ordinata o‘qini _π/4 burchak ostida kesib o‘tuvchi ko‘rsatkichli funksiyaning asosiga aytiladi.
a^u(x) (a>0, a_≠1) funksiya uchun quyidagi formulalarning o‘rinli bo‘lishini ko‘rish qiyin emas: (a^u(x))’= a^u(x)_⋅u’(x)_⋅lna, d(a^u(x))= a^u(x)_⋅u’(x)_⋅lna_⋅dx.
Masalan, (3^5x-3)’=3^5x-3_⋅(5x-3)’_⋅ln3=5_⋅3^5x-3_⋅ln3.
3. y=log_ax (a>0, a_≠1, x>0) logarifmik funksiyaning hosilasi.
Bu funksiya x=a^y funksiyaga nisbatan teskari funksiya bo‘lgani uchun teskari funksiyaning hosilasini topish qoidasiga ko‘ra y'_x = _x¹_'y = _a y ¹_{ln a} = _xln¹ _a
ya’ni (log_a x )' = xln¹ a . Xususan, (ln x )' = ¹x formula o‘rinli.
Bu formulalardan quyidagi muhim xulosani chiqarish mumkin: _xlim→+∞(loga x )' = _xlim→+∞ _xln¹ _a =0, ammo (log_ax)’ geometrik nuqtai nazardan y=log_ax funksiya grafigiga abssissasi x ga teng bo‘lgan nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientiga teng. Shunday qilib, lim tg_α=0, ya’ni lim _α=0, bu esa
x→+∞ x→+∞ yyetarlicha katta x lar uchun urinma abssissalar o‘qiga «deyarli parallel» bo‘lishini anglatadi. Bu holni funksiya grafigini chizishda hisobga olish zarur. log_au(x) funksiya uchun quyidagi formula o‘rinli: .
4. Trigonometrik funksiyalarning hosilalari
1) y=sinx funksiyaning hosilasi. Funksiyaning x nuqtadagi orttirmasini sinuslar ayirmasi formulasidan foydalanib topamiz:
∆y ₌ sin( x _{+ ∆}x )₋ sin x ₌ 2sin ^∆x cos( x ₊ ^∆x ) .
2 2
Funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbati
^∆y sin x∆²x cos( x ₊ ^∆2^x ) ga teng. Bu tenglikda birinchi ajoyib limit va cosx
₌

∆x ^∆

2
funksiyaning uzluksizligini e’tiborga olgan holda limitga o‘tsak, sin ∆x
∆limx→0 ^∆уx = ∆limx→0 ∆x² ∆limx→0cos( x ₊ ^∆2^x ) ₌ cos x bo‘ladi.
∆
2
Demak, (sinx)’=cosx formula o‘rinli.
2) y=cosx funksiyaning hosilasi. Bu funksiyaning hosilasini topish uchun cosx=sin(x+_π/2) ayniyat va murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasidan foydalanamiz. U holda
(cosx)’=(sin(x+π/2))’=cos(x+π/2)⋅ (x+π/2)’=cos(x+π/2)⋅1=cos(x+π/2).
cos(x+_π/2)=-sinx ayniyatni e’tiborga olsak, quyidagi formulalarning o‘rinli ekanligi kelib chiqadi:
(cosx)’=-sinx.
y=sinx va y=cosx funksiyalarning hosilalarini quyidagi fizik mulohazalardan foydalanib ham keltirib chiqarish mumkin. Faraz qilaylik birlik aylanada burchak tezligi ω=1 rad/s bo‘lgan nuqta harakatlanayotgan bo‘lsin (11rasm). Vaqtning boshlang‘ich momentida nuqta A₀, vaqtning t momentida A holatda bo‘lsin. U holda A₀A yoyning uzunligi t ga, A₀OA markaziy burchak t radianga teng bo‘ladi. Sinus va kosinusning ta’riflariga ko‘ra A nuqtaning ordinatasi sint, abssissasi esa-cost ga teng.
11-rasm Demak, A nuqtaning abssissa o‘qidagi proeksiyasi B nuqta x=sint qonuniyat bilan, ordinata o‘qidagi proeksiyasi S nuqta y=cost qonuniyat bilan harakat qiladi. Shu harakatlarning tezliklarini topamiz.
Ma’lumki, A nuqtaning chiziqli tezligi v=_ωR formula bilan ifodalanadi. Bizning holimizda ω=1, R=1 bo‘lganligi sababli v=1 bo‘ladi. Chiziqli tezlikni ikkita- gorizontal va vertikal- tashkil etuvchilarga ajratamiz. A nuqta tezligining vektori v^, bu erda |v^|=1, aylanaga A nuqtada o‘tkazilgan urinma bo‘ylab yo‘nalgan. Shu sababli Ox o‘qi bilan t+_π/2, Oy o‘qi bilan t burchak tashkil qiladi. Demak, uning Ox o‘qiga proeksiyasi (ya’ni B nuqtaning tezligi) v_x=cos(t+_π/2)= =-sint ga, Oy o‘qiga proeksiyasi v_y=cost ga teng bo‘ladi.
Tezlik yo‘ldan vaqt bo‘yicha olingan hosila bo‘lganligi, B nuqtaning harakat qonuni x=cost, tezligi v_x=-sint ekanligini e’tiborga olsak, (cost)’=-sint degan xulosaga kelamiz.
Shunga o‘xshash, S nuqtaning harakat qonuni y=sint, tezligi v_x=cost ekanligini e’tiborga olsak, (sint)’=cost degan xulosaga kelamiz.
3) y=tgx va y=ctgx funksiyalarning hosilalari. Ushbu funksiyalarning hosilalarini topish uchun bo‘linmaning hosilasini topish qoidasidan foydalanamiz:
(tgx )' = ( sin x )' = cos x
= cos2cosx +2sinx 2 x = cos12 x .
Xuddi shunga o‘xshash
( ctgx )' = − sin¹₂ x formulani ham
k eltirib chiqarish mumkin.
12-rasm Buni mashq sifatida o‘quvchilarga qoldiramiz.
Trigonometrik funksiyalarning argumentlari x erkli o‘zgaruvchining u(x) funksiyasi bo‘lsa, u holda murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasiga ko‘ra quyidagi formulalar o‘rinli bo‘ladi:
(sinu)’=u’⋅cosu, (cosu)’=-u’sinu, (tgu )' = cos^u'_{2 u} , ( ctgu )' = − _sin^u'_{2 u} .
Misol. y=sinx funksiya grafigi koordinatalar boshida Ox o‘qi bilan qanday burchak tashkil etadi?
Yechish. Buning uchun y=sinx funksiya grafigiga abssissasi x=0 bo‘lgan nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y’=cosx, demak f’(0)=cos0=1, burchak koeffitsienti tgα=1, bundan izlanayotgan burchak π/4 ga teng.
Misol. y=tgx funksiya grafigi koordinatalar boshida Ox o‘qi bilan qanday burchak tashkil etadi?
Yechish. Buning uchun y=tgx funksiya grafigiga abssissasi x=0 bo‘lgan nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsientini topamiz: y’=(tgx)’=sec²x, demak f’(0)=sec²0=1, burchak koeffitsienti tg_α=1, bundan izlanayotgan burchak π/4 ga teng.
Bu misollarda olingan natijalarni y=sinx va y=tgx funksiya grafiklarni chizishda e’tiborga olish kerak. Rasmlarda y=sinx va y=tgx funksiya grafiklari keltirilgan. Bu funksiya grafiklari koordinatalar boshida y=x to‘g‘ri chiziqqa urinadi.