R. M. Turgunbaev matematik analiz

  

Amalda (5.1) tenglikni
^{dy = dy ⋅ du} yoki y_x’=y_u’u_x’ dx du dx
ko‘rinishda yozib, quyidagi qoida tarzida ifodalaydi:
Murakkab funksiyaning erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha hosilasi oraliq o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosila va oraliq o‘zgaruvchidan erkli o‘zgaruvchi bo‘yicha olingan hosilalar ko‘paytmasiga teng.
Bu qoidani quyidagicha talqin qilish mumkin: agar berilgan nuqtada y o‘zgaruvchi u ga nisbatan y_u’ marta tez, u esa x ga nisbatan u_x’ marta tez o‘zgarsa, u holda y o‘zgaruvchi x ga nisbatan y_u’u_x’ marta tez o‘zgaradi, ya’ni y_x’=y_u’u_x’.
Yuqoridagi qoida uchta, umuman chekli sondagi hosilaga ega bo‘lgan funksiyalar kompozitsiyasi uchun ham o‘rinli. Masalan, agar y=f(u), u=_ϕ(t), t=h(x) bo‘lsa, u holda y_x’=y_u’u_t’t_x’ tenglik o‘rinli bo‘ladi.
2. Teskari funksiyaning hosilasi.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalda y’=f’(x) hosilaga ega va ∀x∈(a,b) uchun f’(x)≠0 bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: f(a)=α, f(b)=β. U holda y=f(x) funksiya uchun teskari funksiyaning mavjudligi va uzluksizligi haqidagi teorema shartlari bajariladi, chunki y=f(x) funksiyaning uzluksizligi uning hosilaga ega ekanligidan kelib chiqadi. Shunday qilib, [α;β] kesmada y=f(x) funksiyaga nisbatan teskari bo‘lgan x=ϕ(y) funksiya mavjud bo‘ladi.
Teskari funksiya argumenti y ga ∆y≠0 orttirma beramiz. U holda x=ϕ(y) funksiya biror ∆x=ϕ(y+∆y)-ϕ(y) orttirma oladi va teskari funksiyaning monotonligidan ∆x≠0, uzluksizligidan esa ∆y→0 da ∆x→0 ekanligi kelib chiqadi.
Endi x=_ϕ(y) funksiyaning hosilasini topamiz. Yuqorida aytilganlarni e’tiborga olsak, hosilaning ta’rifiga ko‘ra ∆limy→ ∆^∆y^x = lim¹ _x = _f'¹_{( x )} , demak x_y’=ϕ’(y)=1/f’(x) formula o‘rinli ekan.
_{0 ∆}
∆x→0 ∆y
Shunday qilib, quyidagi teorema isbot bo‘ldi.
Teorema. Agar y=f(x) funksiya [a;b] kesmada monoton o‘suvchi, (a;b) intervalning har bir nuqtasida noldan farqli y’=f’(x) hosilaga ega bo‘lsa, u holda bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=_ϕ(y) funksiya (f(a);f(b)) intervalda hosilaga ega va ∀y∈(f(a);f(b)) uchun uning hosilasi 1/f’(x) ga teng bo‘ladi.
Ushbu teorema f(x) funksiya kamayuvchi bo‘lganda ham o‘rinli ekanligini isbotlashni o‘quvchilarga qoldiramiz.
Demak, teskari funksiya hosilasini hisoblash qoidasi
x'_y = _y¹_'x (5.4)
formula bilan ifodalanadi.