R. M. Turgunbaev matematik analiz

5. Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari.
Teskari funksiyaning hosilasi haqidagi teoremadan foydalanib, y=arssinx (-1≤x≤1) funksiyaning hosilasini topaylik.
Bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=siny funksiya ^_−^π₂ ;^π₂^_ da monoton
o‘suvchi va ^_−^π;^π_ intervalda hosilaga ega, hamda bu intervalning har bir

 2 2 

nuqtasida hosila noldan farqli: x'_y = cos y ≠ 0. Shuning uchun y'_x = _x¹_'y = _cos¹ _y .

Endi ^_−^π;^π_ intervalda cosy>0 va bunda cosy= 1₋ sin² x formula o‘rinli

 2 2 

bo‘lganligi uchun y’_x⁼ 1− ¹sin_{2 y} = ₁₋¹ _x2 bo‘ladi.
Demak,
, (-1<x<1)
formula o‘rinli.
Endi y=arccosx (-1≤x≤1) funksiyaning hosilasi uchun formula keltirib chiqaramiz. Bu funksiyaga teskari bo‘lgan x=cosy funksiya [0,_π] da monoton kamayuvchi, (0;_π) da hosilaga ega bo‘lib, bu intervalning har bir nuqtasida noldan farqli x’_y=-siny hosilaga ega. Demak, teskari funksiyaning hosilasi haqidagi

teorema shartlari o‘rinli. Shu sababli (5.4) ga ko‘ra y'_x = x¹' _y = − sin¹ y = − 1₋ cos¹ ₂ y = − 1₋¹ x₂ ham o‘rinli bo‘ladi. (Bu erda (0;π)
da siny= 1₋ cos² y ekanligidan foydalandik).
Shunday qilib, (arccosx)’=₋ ¹ (-1<x<1) formula o‘rinli ekan.

1− x² Ma’lumki, y=arctgx funksiyaning qiymatlar to‘plami ^_−^π;^π_ intervaldan

 2 2 

iborat. Shu intervalda unga teskari bo‘lgan x=tgy funksiya mavjud va bu funksiyaning hosilasi x'_y = cos¹_{2 y} noldan farqli. Teskari funksiyaning hosilasi haqidagi teoremadan foydalansak,
y'x = x1'y = (tgy1 )' = cos y = 1+ tg1 2 y = 1+1x2
bo‘ladi.
Demak, quyidagi formula o‘rinli:
(arctgx)’= .
Xuddi yuqoridagi kabi y=arcstgx funksiya uchun
(arcstgx)’=-
formulaning o‘rinli ekanligini ko‘rsatish mumkin.
Teskari trigonometrik funksiyalarning argumentlari x erkli o‘zgaruvchining u(x) funksiyasi bo‘lsa, u holda murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasidan quyidagi formulalar kelib chiqadi:
(arcsinu(x))’= ^{u'( x )} ; (arccosu(x))’=- ^{u'( x )} ;
1− u²( x ) 1− u²( x )

(arctgu(x))’=1+u'u(2x()x ) ; (arcstgu(x))’=-1+u'u(2x()x ) ;
7-§. Logarifmik hosila. Daraja-ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi.
1.Logarifmik hosila.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya (a;b) intervalda differensiallanuvchi va f(x)>0 bo‘lsin. U holda shu intervalda lny=lnf(x) funksiya aniqlangan bo‘ladi. Bu funksiyani x argumentning murakkab funksiyasi sifatida qarab, x nuqtadagi hosilasini hisoblash mumkin. bo‘lgan x₀ nuqtada f(x) funksiyaning hosilasini topish kerak bo‘lsin. Murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasidan foydalanib
(ln y )' ₌ ^y' =(lnf(x))’, bundan y
y’=y(lnf(x))’ (7.1)
formulaga ega bo‘lamiz.
Funksiya logarifmidan olingan hosilaga logarifmik hosila deyiladi.
Birnechta funksiyalar ko‘paytmasining hosilasini hisoblashda (7.1) formuladan foydalanish hisoblashlarni birmuncha soddalashtirishga imkon beradi. Haqiqatan ham y=u₁⋅ u₂⋅...⋅u_n funksiya (bu erda har bir u_i, i=1,n funksiya hosilaga ega va ∀x∈D(f) da u_i>0) berilgan bo‘lsin. Bu funksiyani logarifmlab, lny=lnu₁+lnu₂+...+lnu_n, bundan esa ^y' = ^u'1 + ^u'2 ++ ^u'n tenglikni hosil qilamiz. So‘ngi tenglikning ikkala y u₁ u₂ u_n tomonini y ga ko‘paytirib quyidagiga ega bo‘lamiz:
y’= u1⋅ u2⋅...⋅un⋅ uu'₁1 + uu'22 ++ uu'nn .
Misol. y= ^{( x +1)2} funksiyaning hosilasini toping.
Yechish.
lny=2ln(x+1)-3ln(x+2)-4ln(x+3). Bu tenglikdan hosila olib, ushbu tenglikka
ega bo‘lamiz:
.
Bundan y’= .