Qism gruppalar. Faktor gruppalar

4. Faktor gruppalar
Ta’rif. gruppaning istalgan g elementi bilan o’rinalmashinuvchi H qism gruppasi ning normal bo’luvchisi (invariant qism gruppasi) deyiladi.
Demak,ta’rifga ko’ra ∀ g∈ G (Hg=gH). Masalan, simmetrik gruppaning

qism gruppasi da normal bo’luvchisidir. Bunga ishonch hosil qilish maqsadida H istalgan g∈ G element bilan o’rin almashinuvchi ekanini tekshirib ko’ramiz:
h ∈ H uchun Hh=hH=H bo’lganidan H qism gruppa o’zining har bir h elementi bilan o’rin almashinuvchidir. Dema, H ning qolgan uchta element bilan o’rin almashinuvchi ekanini tekshirib ko’rish lozim;
uchun:
= dir. Demak, Ha=aH
Kommutativ gruppaning har bir qism gruppasi normal bo’luvchi bo’ladi.
Endi gruppani H normal bo’luvchi bo’yicha qo’shni sitemalarga yoyamiz:
G=H+Ha+Hb+Hb+Hc+Hd+… (1)
Elementlarini (1) qo’shni sistemalardan iborat
G/H={H,Ha,Hb,Hc,Hd,….}
o’plamni qaraymiz.
Teorema. G/H to’plam sistemalarni ko’paytirishga nisbatan gruppa tashkil etadi.
Isboti. Gruppa ta’rifidagi to’rtta aksiomaning bajarilishini ko’zatamiz.

1. 
   ∀Hg,Hg’ ∈ G/H(HgˑHg’ ∈ G/H) va bir qiymatli. Haqiqatan, Hg·Hg’=HHgg’=Hgg’ kelib chiqadi; gg’ ∈G bo’lgani uchun (1) sistemalar orasida Hgg’ sistema albatta bor; Hgg’ ko’paytmaning bir qiymatligi shundan ma’lumki, (1) dagi barcha sistemalar har xil.
   
2. 
   ∀ Hg,Hg’,Hg’’ ∈ G/H((Hg·Hg’)Hg’’=Hg(Hg’Hg’’),
   

Chunki sistemalarni ko’paytirish assosiativ ekanini bilamiz.

3. 
   ∀ Hg ∃ H ∈ G/H(HgH=Hg); ya’ni G/H to’plamda H sistema birlik element bo’lib xizmat qiladi, chunki Hg·H=HHg=Hg.
   
4. 
   ∀ Hg ∃ H , ya’ni G/H ning har bir Hg elementiga G/H da teskari element mavjud. Haqiqatan, bo’lgani sababli (1) sistemalar orasida sistema albatta bor bo’lib,
   

bo’ladi. Bu G/H gruppa factor gruppa deyiladi. gruppa chekli va n- tartibli, H normal bo’luvchi esa m- tartibli bo’lsa, yoyilmadan ko’ringanidek, G/H factor-gruppaning tartibi bo’ladi.
Masalan, yuqorida qaralgan gruppani normal bo’uvchi bo’yicha yoysak,

hosil bo’ladi, bo’nda . Demak, faktor-gruppa ko’rinishga ega. Bu yerda ning tartibi 6 ga, H ning tartibi 3 ga teng bo’lganidan ning tartibi ekanini ko’ramiz.