Qism gruppalar. Faktor gruppalar

1. Yarim gruppa va monoid tushunchasi
Aytaylik to’plam, to’plamda aniqlangan binary amal bo’lsin.
TA’RIF. Agar to’plamda aniqlangan binar amal assotsiativ bo’lsa, ya’ni bajarilsa, u holda – algebraik sistemaga yarimgruppa deyiladi. Agar amal + (qo’shish) amali bo’lsa, – additiv yarimgruppa, • (ko’paytirish) bo’lsa, – multiplikativ yarimgruppa deyiladi.
Agar amal kommutativ bo’lsa, ya’ni bo’lsa, ni kommutativ, yarimgruppa deyiladi.
va bo’lsa, u holda ni qisqartirishga ega bo’lgan yarimgruppa deyiladi.
MISOLLAR:1. akslantirishlarning ko’paytirish (kompozitsiyasi) amalidan iborat bo’lsin. U holda algebraic sistema yarimgruppa bo’ladi. Chunki akslantirishlarni ko’paytirish amali assotsiativlik xossasiga ega.
2. ikki elementli to’plam bo’lib, unda aniqlangan amal quyidagi jadval orqali berilgan bo’lsin, u holda algebraik sistema yarimgruppa bo’ladi. Lekin u qisqartirishga ega bo’lmaydi, chunki, munosabatlardan bo’lishi kelib chiqmaydi.

*	E	a
E	E	a
A	A	a

TA’RIF. Agar yarimgruppa bo’lib, to’plam amalga nisbatan neytral element mavjud bo’lsa, u holda monoid deyiladi.

MISOLLAR. 3. Yuqoridagi 2 – misolda keltirilgan yarimgruppa monoid bo’ladi.
4. algebraik sistema multiplikativ monoid bo’lishini ko’rsatish oson. additive yarimgruppa monoid bo’lmaydi, chunki to’plamda qo’shish amaliga nisbatan neytral element mavjud emas.
Aytaylik yarimgruppa bo’lsin, u hlda:
(1)
belgini

ma’nosida tushuniladi.
Agar amal + (qo’shish)dan iborat bo’lsa, (1) ni qisqacha ko’rinishda, amal • (ko’paytrish)dan iborat bo’lsa, ko’rinishda belgilaymiz. Demak,
(2)
(3)