Qism gruppalar. Faktor gruppalar

Siklik gruppalar. Ixtiyoriy gruppaning elementini olib, uning barcha butun darajalaridan tuzilgan
(1)
to’plamni qaraymiz. A⊆G ekanligi ravshan, chunki har bir butun daraja ning elementidir.
1-Teorema. A top’lam ning qism gruppasidir.
Isboti. Qism gruppaning zaruriy va yetarli sharti bajariladi:

A ni element tomonidan vujudga keltirilgan siklik gruppa deyiladi va ko’rinishda belgilanadi.
Bu yerda ikki hol ruy berishi mumkin:
1-hol. A da har xil elementlar sonly chekli, ya’ni A chekli gruppa. Masalan, gruppa chekli bo’lganda bu hol albatta ro’y beradi. Demak, bu holda ning (1) darajalari orasida bir-biriga tenglari albatta bor, ya’ni
(2)
bunda α≠ β , chunki α =β shartda (2) tenglik bitta darajani ifodalaydi. Bu yerda α -β =γ >0 deb faraz qilsak, (2) dan
(3)
kelib chiqadi. Demak, ning gat eng musbat darajalari mavjud. Bunday γ daraja ko’rsatkichlar orasida eng kattasi yo’q, chunki istalgan natural son uchun (3) bilan birga ham o’rinli. Lekin bular orasida eng kichiga bor; uni bilan belgilaymiz; shartda bo’lib, shartda esa dir.
Shunday qilib,
(4)
Tenglik bajarilib, lekin musbat son uchun bo’ladi.
2-Teorema. (4) tenglik bajarilgan holda
(5)
Darajalar har xil bo’lib, istalgan butun daraja (5) darajalarning biriga tengdir.
Isboti. (5) darajalardan qandaydir ikkitasi teng deylik:

bundan kelib chiqadi; bo’lgani sababli tenglik bajarila olmaydi. Demak, (5) darajalar har xildir.
Endi
(6)
Tenglikka asosan ushbuga ega bo’lamiz: , bu yerda daraja xuddi (5) larning biriga tengdir.
3-Teorema. (4) tenglik bajarilishi bilan birga yana butun daraja ni qanoatlantirishi uchun λ son ga bo’linishi zaruz va yetarli.
Isboti. 1. λ son ga bo’linsa, λ = bo’lib, demak,
kelib chiqadi.
2. desak, 2-teoremaga ko’ra bo’lib, ga ega bo’lamiz. Bu erda ekanini nazarda tutsak, shartda ning bajarilishi mumkin emas ekanligini ko’ramiz. Shu sababli, bo’lib, (6) dan kelib chiqadi, ya’ni ga bo’linadi.
Shunday qilib, qaralayotgan 1-holda (1) ning har xil elementlari faqat ta ya’ni (5) elementlardangina iborat bo’lib, siklik gruppa
(7)
ko’rinishni oladi. Demak, siklik gruppa chekli tartibli gruppani tasvirlaydi.
2-hol. (1) elementlar har xil. Bu holda λ son noldan farqali bo’lsa, daraja uchun tenglik bajarilmaydi, chunki aks holda (1) darajalarning ikkitasi bir biriga tenf bo’lib qoladi, bundan kelib chiqadiki, A gruppa cheksiz siklik gruppa bo’ladi.
Ta’rif. tenglikni qanoatlantiruvchi γ musbat ko’rsatkichlar orasida eng kichigi bo’lgan m va a elementlarning tartibi deyiladi.
Bu holda a chekli tartibli (m-tartibli) element deyiladi.
Hech qanday γ natural son va a≠ γ element uchun tenglik bajarilmasa, a ni cheksiz tartibli element deb atash qabul qilingan.
Yuqoridagi mulohazalardan bunday xulosa kelib chiqadi: chekli m- tartibli a element tomonidan chekli m- tartibli (7) siklik gruppa vujudga keltiradi. Cheksiz tartibli a element esa cheksiz tartibli siklik gruppani vujudga keltiradi.
Chekli gruppaning hamma elementlari chekli tartiblidir, cheksiz gruppaning elementlari esa chekli va cheksiz tartibli bo’lishi mumkin.
Misol. Noldan tashqari kompleks sonlarning ko’paytirishga nisbatan gruppasi G da elementlar mos ravishda 4, 8 va cheksiz tartibli. Haqiqatan,
𝑎r
;
2 ning esa hech darajasi ni qanoatlantirmaydi.
Bu elementlar tomonidan quyidagi siklik gruppalar vujudga keltiradi:



4-Teorema. Chekli gruppaga qarashli har bir elementning tartibi bu gruppa tartibining bo’luvchisidir.
Isboti. m – tartibli a element m - tartibli {a} siklik gruppani vujudga keltiradi. Shu sababli Logranj teoremasiga asosan m son gruppa tartibining bo’luvchisidir.
Masalan, elementning tartibi, ya’ni 3 son gruppa tartibining, 6 ning bo’luvchisidir.