Qism gruppalar. Faktor gruppalar

2. Gruppa tushunchasi va uning xossalari
Chekli yoki cheksiz toplamda bitta algebraic amal aniqlangan deb faraz qilamiz. Demak, bu amal to’plamda bajariluvchan va bir qiymatlidir. Bu yerda ham algebraic amalni ko`paytirish deb atab, istalgan ikkita element ko’paytmasini yoki ko’rinishda belgilaymiz. Shunday qilib, element ko’paytmasi ning yagona elementiga tengdir.
1-Ta’rif. Quyidagi ikkita aksiomaga bo’ysunuvchi chekli yoki cheksiz to’plam yarimgruppa deyiladi:
1) ( va bir qiymatli);
2) Demak, yarim gruppada bitta algebraic amal aniqlangan va ning elementlarini ko’paytirish assotsiativdir.
Masalan, butun sonlar to’lami yolg’iz qo’shish amali yoki yolg’iz ko’paytirish amaliga nisbatan yarim gruppa tashkil qiladi, P sonli maydon ustida n- tartibli kvadrat matritsalar to’plami ham matritsalarni qo’shish yoki ko’paytirishga nisbatan yarim gruppa tashkiletadi.
2-Ta’rif. Quyidagi to’rtta aksiomaga bo’ysunuvchi chekli yoki cheksiz to’plam gruppa deyiladi:
1) ( va bir qiymatli)( ga algebraic amal aniqlangan);
2) ( da ko’paytirish assotsiativ);
3) ( da o’ng birlik element mavjud);
4) (har bir element uchun da o’ng teskari element mavjud).
elementlardan tuzilgan gruppa ko`rinishda belgilanadi.
G gruppada ko’paytirish amali kommutativ bo’lishi shart emas.
Agar gruppa yana talabni ham qanoatlantirsa, ni kommutativ gruppa (yoki Abel gruppasi), bo`lgan holda ni
Nokommutativ gruppa deyiladi.
gruppaning tenglikni qanoatlantiruvchi a va b elementlari o`rin almashinuvchi elementlar, bo`lgan holda esa ularni o`rin almashinmas elementlar deyiladi. gruppaning quyidagi asosiy xossalarini ko`rib o`tamiz.
1. gruppaning o`ng birligi chap birlik ham bo`ladi. Haqiqatan, 3-aksioma bo`yicha yoki 4-aksiomada aytilgan ga muvofiq,
(1)
Yana 4-aksiomaga ko`ra bo`lgani sababli (1) dan ushbuni hosil qilamiz:
yoki . Demak, element uchun o’ng birlik vazifasini bajaruvchi ℯ element chap birlik ham bo’ladi.
G da yagona birlik element mavjud chunki, birlik elementlar bo’lsa, va dan ko’paytmaning bir qiymatligiga asosan darhol kelib chiadi.
2. Har bir elementning o’ng teskari elementi chap teskari element vazifasini ham bajaradi. Haqiqatan ham, bilan birga, 4-aksiomaga muvofiq
(2)
bo’ladi. Buning ikkala tomonini chapdan ga ko’paytirib, quyidagiga ega bo’lamiz: yoki . Demak, (2) ko’rinishni oladi, ya’ni element ning chap teskari elementi vazifasini ham bajaradi.
ga yagona teskari element mavjud, chunki va ni ga teskari elementlar desak, bo`ladi. ga yagona teskari element ko’rinishda begilanadi. Shunday qilib,

va o’zaro teskari elementlar deyiladi.
3. dan va kelib chiqadi.
Haqiqatan, ni chap va o’ng tomondan 𝒶^-1 ga ko’paytirsak, quyidagini hosil qilamiz:
(3)
Endi (3) ni chap va o’ng tomondan ga ko’paytirsak, quyidagini hosil qilamiz:

4. va tenglamalar mos ravishda va yechimlarga ega.
Bu yechimlar ni chap tomondan ni esa o’ng tomondan ga ko’paytirish bilan hosil qilinadi.
5. elementlarni ko’paytirish umuman assotsiativdir.
Haqiqatan ham, ni ko’rinishda yoza olamiz. Endi uchta elementni ko’paytirish assosiativ bo’lganidan, va hokazo. Demak, ta element ko’paytmasini qavssiz yoza olamiz:

6. ning ta elementini ko’paytirish bajariluvdan va bir qiymatli va bir qiymatli;
va bir qiymatli;
va bir qiymatli va hokazo.
7. elementlarning ko’paytmasiga teskari element bo’ladi.
Buni tekshirib ko’rsak,
Bo’ladi. Shunday qilib, dir.
Xususiy holda .
8. ko’paytmani ko’rinishda yozib, elementning darajasi deymiz. Shuningdek, ni bunday ham yozamiz: .
U holda ning darajasiga ega bo’lamiz. Endi, uchun deb qabul qilamiz. Demak elementning istalgan butun darajasi yana ning elementi bo’ladi.
Quyidagilarni isbotlash oson:
va
Bunda va istalgan butun sonlar. Faqat o’rin almashinuvhi va elementlar uchungina bo’ladi.
Shuni ham aytib o’taylikki, va o’zaro teskari elementlardir, chunki

Elementlarning soni chekli bo’lgan gruppa chekli gruppa, elementlari cheksiz ko’p bo’lgan gruppa cheksiz gruppa deyiladi. Gruppaning elementlari soni uning tartibi deyiladi. Shunday qilib, chekli va cheksiz tartibli gruppalar mavjud.
Misollar:
1. butun sonlar to’plami sonlarni qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi, chunki uchun .Birlik element vazifasini nol soni bajaradi, chunki uchun ; har bir elementga teskari element bo’lib, - xizmat qiladi: . Bu gruppa cheksiz va kommutativdir.
2. Noldan tashqaribarcha ratsional sonlar to’plami sonlarni ko’paytirish amaliga nisbatan cheksiz kommutativ gruppa tashkil qiladi, chunki istalgan va ikkita ratsional son uchun bo’lib , demak, va bir qiymatli; uchun ; da birlik element vazifasini 1 soni bajaradi: ga teskari element dir
3. Noldan tashqari barcha haqiqiy sonlar to’plami, shuningdek, noldan tashqari barcha kompleks sonlar to’plami ko’paytirishga nisbatan cheksiz kommutativ gruppalar tashkil etadi.
4. Birinchi misoldagidek, ratsional sonlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan cheksiz kommutativ gruppa tashkil etadi.
5. P sonly maydon ustida matritsalar to’plami matritsalarni qo’shishga nisbatan cheksiz kommutativ gruppa hosil qiladi.
Nisbatan ham, istalgan ikkita matritsa yig’indisi yana P maydon ustida matritsa bo’lgani uchun bir qiymtli ravishda shu to’plamga qarashlidir; istalgan uchta matritsani qo’shish-assosiativ; birlik element vazifasini nol matritsa bajaradi; har bir

Matritsaga teskari

matritsa mavjud.