Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti "oliy matematika" kafedrasi

Ta‘rif. Istalgan s > 0 son uchun shunday S > 0 son mavjud bo’lsaki, |x -a\ < S tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha a dan farqli х nuqtalar uchun |f (x) - b\ < s tengsizlik bajarilsa, b chekli son f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi (yoki x ^ a dagi) limiti deb ataladi.
Bu ta‘rifga quyidagicha geometrik izoh berish mumkin. b son f(x) funksiyaning х=а nuqtadagi limiti bo’lganda (a -S, a + S) intervaldagi barcha х lar uchun f (x) funksiyaning


qiymatlari (b-s, b + s) intervalda yotadi.
Keltirilgan ta‘riflarni teng kuchliligini ko’rsatish mumkin.

_ . , x² -25 _л

10-misol. lim ——— = 2 ekanini tarifdan foydalanib isbotlang.


x² - 25
Yechlsh. f (x) = —
x² - 5x


funksiyani x=5 nuqtaning biror atrofida, masalan (4,6)


intervalda qaraylik. Ixtiyoriy s > 0 sonni ^olib \^{f (x) - b} < s ni


x Ф 5 deb quyidagicha


o’zgartiramiz:


x


x


- 25


- 5x


-2


⁽x ^{- 5)(x} + ⁵⁾
2
x( x - 5)


5 - x _ |5 - x|
x |x|


x + 5
x


x>4 ekanini hisobga olsak


|x|=x>4 bo’lib


x² - 25 |5 - x|
x■ -² "V


kelib chiqadi. Bundan ko’rinib


turibdiki, 3 = 4s deb olsak, u holda


0 <| x - 5 |< 3 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha


x g (4; 6)


uchun


x² - 25 x² - 5x


<— = s


tengsizlik bajariladi. Bundan 2 soni f(x) =


x² - 25


x² - 5x


3


4


funksiyaning x=5 nuqtadagi limiti bo’lishi kelib chiqadi.
Ta‘rif. Istalgancha katta M>0 son uchun shunday 3 = 3(M)> 0 son mavjud bo’lib,
| x - a |< 3 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha a dan farqli х lar uchun | f (x) |> M tengsizlik bajarilsa, x ^ a da f (x) funksiya cheksizlikka intiladi deb aytiladi va bu lim f (x) = kabi x^a yoziladi.
11-mlsol. lim—-— = ekani isbotlansin. ^x>; x - 2
Yechlsh. f (x) =—funksiyani qaraylik. Ixtiyoriy M>0 sonni olsak,


1
x — 2


|f ( x)| =


>M tengsizlik lx - 2 < — bo’lganda bajarilishi ko’rinib turibdi. Agar 3 = — deb
^{1 1} M M


olinsa, |x - 2 < 3 tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun


1
x — 2


> ^- =M yoki


1
x — 2


>M tengsizlik bajariladi. Bu esa x ^ 2 da f (x) = —funksiya cheksizlikka intilishini


bildiradi, ya‘ni lim—-— = да
^x^² x - 2

2. 
   Funkslyanlng chekslzllkdagl llmltl
   

Ta‘rif. Agar f (л) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan s > 0 son uchun shunday N>0 son mavjud bo’lib, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun |f (x) - b\ < s tengsizlik bajarilsa, o’zgarmas b son y = f (x) funksiyaning x >да dagi limiti deb ataladi va bu lim f (x) = b kabi yoziladi. x>w	12-misol.	lim - x>w	’ + ^1 , 1 =1 ekani x	isbotlansin.
	Yechish.	^x^+^1^f^(^x^) =		funksiyani qaraylik. Istalgan s > 0 sonni olsak
			x
^f^(^x)	- b = ^x	-1 =	x +1 - x 1	bo’lib N = — desak, barcha |x|>N uchun
	x		x Ixl	s

x + 1


funksiyaning x > /


^{x +1 f (x)} = —
x


1 < = s tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan 1 soni


x


dagi limiti bo’lishi ayon bo’ladi.
Ta‘rif. Agar f (x) funksiya х ning yetarlicha katta qiymatlarida aniqlangan bo’lib, istalgan yetarlicha katta M>0 son uchun shunday N>0 son topilsaki, |x|>N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun |f (x)| >M tengsizlik bajarilsa, y = f (x) funksiya x >да da cheksizlikka intiladi deyiladi va lim f (x) = да kabi yoziladi. x>w
13-misol. lim x² =да ekani isbotlansin. x>w
Yechish. f (x) = x² funksiyani qaraylik. Istalgan M>0 sonni olib |f (x)| > M tengsizlikni tuzamiz. x²>M, bundan |x| > 4M kelib chiqadi. N = JM deb olinsa, |x| > N tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha х lar uchun x² > N² = M tengsizlik bajariladi. Bu lim x² = да ekanini x>w bildiradi.

2. 
   Limitga ega funksiyaning chegaralanganligi
   

Teorema. Agar f (x) funksiyaning a nuqtadagi limiti b chekli son bo’lsa, u holda y= f (x)

funksiya a nuqtaning biror atrofida chegaralangandir.
Isboti. lim f (x) = b chekli son bo’lsin. U holda limitni ta‘rifiga binoan istalgan s > 0 son x^a
uchun shunday 5 > 0 son topilib (a -5, a + 5) intervaldagi barcha х lar uchun |f (x) - b\ < s yoki |f (x)|-|b| < |f (x) -Ь < s, bundan |f (x)| < |b| + s bo’lishi kelib chiqadi. Agar M = | b\ + s deb olinsa a nuqtaning 5 -atrofidagi barcha х lar uchun |f (x)| < M tengsizlik bajariladi. Bu f (x) funksiya (a -5, a + 5) intervalda chegaralanganligini ko’rsatadi.
Agar f (x) funksiya biror intervalda chegaralangan va nolga teng bo’lmasa, u holda —-— f (x) funksiya ham shu intervalda chegaralangan bo’lishini ta‘kidlab o’tamiz.
Bir tomonlama limitlar
Ta‘rif. Agar f (x) funksiyaning х=а nuqtadagi limitining ta‘rifida х o’zgaruvchi a dan kichik bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b limiti uning х=а nuqtadagi (yoki x ^ a -0 dagi) chap tomonlama limiti deb ataladi va b = lim f (x), yoki b = lim f (x), yoki x ^a x^a-0
x
b = f (a - 0) kabi yoziladi.
Agar a=0 bo’lsa, u holda b = lim f (x) = f (-0) kabi yoziladi.
Ta‘rif. Agar f (x) funksiyaning х=a nuqtadagi limiti ta‘rifida х o’zgaruvchi a dan katta bo’lganicha qolsa, u holda funksiyaning shu nuqtadagi b₂ limiti uning х=a nuqtadagi (yoki x ^ a +0 dagi) o’ng tomonlama limiti deb ataladi va b₂ = lim f (x) yoki b₂ = lim f (x), yoki x > a
b = f (a + 0) kabi yoziladi.
Agar a=0 bo’lsa, u holda b₂ = lim f (x) = f (+0) kabi yoziladi.
f (x) funksiyaning х=a nuqtadagi chap _y 4
va o’ng tomonlama limitlari bir tomonlama i
limitlar deb ataladi. b = b bo’lsa, u holda
D ST
f (x) funksiya х=a nuqtada limitga ega.
86-chizma.


Aksincha, f(x) funksiyaning a nuqtadagi bir tomonlama limitlari mavjud va ular teng, ya‘ni f (a - 0) = f (a + 0) bo’lganda va faqat shundagina bu funksiya a nuqtada limitga ega bo’ladi.

Masalan,

f (x) = signx = <


1,
0,
-1,


agar x > 0 bo' lsa,
agar x = 0 bo' lsa,
agar x < 0 bo' lsa


funksiya x=a nuqtada limitga ega emas, chunki f (-0) =-1, f (+0) =1 va f (-0) ^ f (+0) (86-chizma).
Bu funksiya 0 dan farqli istalgan nuqtada limitga ega.

2. 
   Limitlar haqida asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar.
   

Funksiyalarning limitlarini topishga yordam beradigan limitga o’tishning eng sodda qoidalari bilan tanishamiz.
Bunda isbot faqatgina х — a hol uchun o’tkaziladi (х — да da shunga o’xshash
isbotlanadi). Ba‘zan qisqalik uchun, х — a ni ham, х > / ni ham yozmaymiz.
Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig’indisining limiti qo’shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig’indisiga teng, ya‘ni
lim(u (x) + u₂ (x) +... + u_n (x)) = lim u (x) + lim u₂ (x) +... + lim u_n (x)


Isboti. Mulohazani ikkita qo’shiluvchi bo’lgan hol uchun yuritamiz. limu1(x) = a,


limu₂(x) = b bo’lsin. U holda lim(u(x) + u₂(x)) = a + b tenglik to’g’ri bo’lishini ko’rsatamiz. Cheksiz kichik funksiyalarning xossalaridagi 16.5-teoremaning birinchi qismiga asosan u = a + a, u₂ = b + /3 deb yozishimiz mumkin, bu yerdagi а, в- cheksiz kichik funksiyalar.
Demak, u_x + u₂ = (a+a)+(b + 33 = (a + b)+(a + Д). Bu tenglikda a+b-o’zgarmas son, а />-
cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremaning ikkinchi qismini qo’llasak lim(u + u₂) = a + b = lim u + lim u₂ ekanligi kelib chiqadi.


1-misol. lim — - = lim ——^^)(x + 2) = j^(x + 2) = lim x + lim 2 = 2 + 2 = 4 .
x—2 x 2 x—2 у J x—2 x—2 x—2


x — 2


x⁴ — 5x²
2-misol. lim -—
.4
^x— x


г I x⁴
=^lim Й
к ^x


x >m


| = lim | 1 —= lim 1 — lim Д- = 1 — 0 = 1.
x I x—ml x / x>m x>m x


Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko’paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko’paytmasiga teng, ya‘ni
lim(u (x) • u₂ (x) •... • u (x)) = lim щ (x) • lim u₂ (x) •... • lim u (x)


Isboti. Ko’paytmada ikkita funksiya bo’lgan holni qaraymiz. limu = a, limu₂ = b bo’lsin.


U holda yuqorida eslatilgan 16.5-teoremaga binoan u₁ = a + a, u₂ = b + 3 bo’ladi, a, P-cheksiz kichik funksiyalar. Demak, u_Y • u₂ =(a ia)-(b + 33 = ab + (ab + a3 + «33. Bu tenglikdagi ab- o’zgarmas son, (ab + a3 +a3)- cheksiz kichik funksiya. Yana o’sha 16.5-teoremani ikkinchi qismini qo’llasak limщ • u₂ = ab = limu • limu₂ ekanligi kelib chiqadi.


3-misol. lim (х + 3)(х — 4) = lim( х + 3) lim( х — 4) = [lim x + lim 3] • [lim x — lim 4] =
x—>2 x—>2 x—>2 x—>2 x—>2 x—>2 x—>2


= (2 + 3)(2 — 4) = 5 • (—2) = —10.


4-misol.


lim | 1 — — || 2 —\- ^x >'. x A x


= lim I 1 —¹ I lim I 2 — ^ I = (1 — 0)(2 + 0) = 2 .
x—ml x / x—ml x /


Natija. O’zgarmas C ko’paytuvchini limit belgisidan chiqarish mumkin, ya‘ni lim C • u(x) = C lim u(x) chunki lim C = C.

5-misol. lim 7x² = 7 lim X = 7 • (—1)² = 7 . x^-1 x^—1

Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo’linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bo’lganda, shu funksiyalar limitlarining bo’linmasiga teng, ya‘ni agar limv Ф 0 bo’lsa,


u lim u lim —=
v lim v


bo’ladi.


olsak


Isboti.


lim u(x)=a, lim r(x) b-0 bo’lsin. U holda u = a + a, v = b + p bo’lishini hisobga


u a + a a | a + a a | a ab + ab — ab — —P a ab — —P
v~b+p~b ^b+p bJ =b


— 1
b(b + P) b b(b + P)


tenglikka ega bo’lamiz, bunda— -o’zgarmas son, b


——^aP - cheksiz kichik funksiya, chunki b(b + p) ^y


ab - ap cheksiz kichik funksiya va b(b + p)^0.


So’nggi tenglikka 16.5-teoremani 2-qismini qo’llasak lim ^U = = '^{m U}
v b lim v


tenglik hosil bo’ladi.