Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti "oliy matematika" kafedrasi

Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash
a = a(x) va ft = ft(x) funksiya x > a (yoki x >/) da cheksiz kichik funksiyalar bo’lsin. Bu funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi ham cheksiz kichik funksiya bo’lishini ko’rdik. Ularning nisbati, ya‘ni bo’linmasi haqida gapirilmagan edi. Ikkita cheksiz kichik funksiyalarni ularning nisbatlarini limitiga qarab taqqoslanadi.
1-ta‘rif. Agar lim^a = 0 (yoki lim — = да) bo’lsa, a funksiyaftfunksiyaga nisbatan ft a
yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladi.
Masalan x > 0 da a = sin² x funksiya ft = x funksiyaga nisbatan yuqori tartibli cheksiz


kichik funksiya, chunki lim sin² x = 0 , lim x = 0 va lim ^{Sm X} = lim ^{sm X} lim sin x = 1 • 0 = 0.
x>0 x >0 x>0 x x>0 x x>0
~ > _л. a , i ........
2-ta‘rif. Agar lim— = A ^ 0 bo lsa, a va ft funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik funksiyalar deyiladi.
Masalan x > 0 da a = sin3x va ft = x funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik
funksiyalardir, chunki limsin3x = 0 , lim x = 0 va lim-^sin3x = 3 * 0.
x>0 x>0 x>0 x

3. 
   ta‘rif. Agar lim^a = 1 bo’lsa, a va ft cheksiz kichik funksiyalar ekvivalent deb ataladi va a~ ft yoki a « ft kabi yoziladi.
   

. C\ J _ • - - ^{sin x} 1 ^{tg x} Л Masalan, x > 0 da sinx~x, chunki lim = 1 va x > 0 da tgx~x, chunki lim —— = 1.
x >⁰ x x >⁰ x
Amaliyotda qo’yidagi teoremadan ko’p foydalaniladi.


Teorema. Agar a~a_Y, ft~ ft bo’lsa,


lim ^a = lim ^a tenglik to’g’ridir.
ft ft1


Haqiqatan lim ^a = lim ^{aa ft} = lim ^a lim 3- lim ^ft1 = 1 • lim ^a • 1 = lim ^a
ft a ft1 ft a ft1 ft ft1 ft1


n i г sin5x 5x

17. 
    misol. lim = lim— = 5.
    

x >⁰ x x > x
_1C . 1 г tg 5x .. 5x 5

17. 
    misol. lim — = lim— = —.
    

^x>⁰sin7x ^x>⁰ 7x 7

2. 
   Funksiyaning uzluksizligi
   

Argument va funksiyaning orttirmalari
y = f (x) funksiya (a; b) intervalda aniqlangan bo’lsin. Bu intervaldan ixtiyoriy x₀ nuqtani olamiz, unga funksiyaning y₀ = f (x₀) qiymati mos keladi (90-chizma).
(a; b) intervaldan olingan argumentning boshqa х qiymatiga funksiyaning y = f (x) qiymati mos keladi. x - x₀ ayirma х argumentning x₀ nuqtadagi orttirmasi deyiladi va Ax orqali belgilanadi.


f (x) - f (x₀) ayirma f (x) funksiyaning argument orttirmasi Ax ga mos orttirmasi deyiladi va Ay
orqali belgilanadi. Shunday qilib, Ax = x - x₀, Ay = f(x) - f(x₀). Bundan x = x₀ +Ax,
Ay = f (x₀ + Ax) - f (x₀) . 90-chizmada (a; b) intervalning hech bir nuqtasida grafigi uzilmaydigan
funksiya tasvirlangan. Undan ko’rinib turibdiki argumentning kichik Ax orttirmasiga funksiyaning
ham kichik Ay orttirmasi mos keladi. Boshqacha aytganda argument х ning bir-biriga yaqin
qiymatlariga funksiyaning ham bir-biriga yaqin qiymatlari mos keladi. Bu qoida har qanday
funksiya uchun ham to’g’ri kelavermaydi. Masalan, y = — funksiyani qaraylik. х ning bir-biriga
x
ancha yaqin x_x =-10⁶ va x₂ = 10⁶ qiymatlariga funksiyani bir-biridan katta farq qiladigan
y =-10⁶ va y₂ = 10⁶ qiymatlari mos keladi. Boshqacha aytganda argumentning juda kichik
Ax = x₂ - \ = 2 • 10^-6 orttirmasiga
funksiyaning ancha katta Ay = y₂ - y = 2 • 10⁶
orttirmasi mos keladi. Agar biz y = — funksiyani
x
grafigini (91-chizma) kuzatsak grafikning
uzilishga ega (u ikki bo’lakdan iborat) ekanligini
va uzilish х ning х=0 qiymatida sodir


90-chizma.


bo’lishini ko’ramiz. Shuning uchun ham argumentning x₀ =0 nuqtaga yaqin nuqtalardagi kichik orttirmasiga funksiyaning kichik orttirmasi mos kelmaydi. Bu kabi hollar barcha funksiyalar sinfini ikkiga, ya‘ni grafigi uzilmaydigan va grafigi bir nechta qismlardan iborat funksiyalar sinfiga bo’lib o’rganishni taqozo etadi.
Funksiyaning nuqtada va intervalda uzluksizligi
y = f (x) funksiya x₀ nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.





1-ta‘rif. lim f (x) = f (x₀) , (18.1)
^x > ^x0

ya‘ni funksiyaning x₀ nuqtadagi limiti uning shu

nuqtadagi qiymatiga teng bo’lsa, y = f(x) funksiya
X nuqtada uzluksiz deb ataladi.


Bu ta‘rifga teng kuchli yana bir ta‘rifni
keltiramiz.





91-chizma.


2-ta‘rif. Istalgan s > 0 son uchun shunday 8 = 8(s) > 0 son mavjud bo’lsaki, |x -x₀| < 8


shartni qanoatlantiradigan istalgan х uchun |f (x) - f (x₀ )| < s tengsizlik bajarilsa, y = f (x)


funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.


3-ta‘rif.


lim Ay = 0 (18.2)


bo’lsa, y = f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.


90-chizmada tasvirlangan y = f (x)
funksiya x₀ nuqtada uzluksiz, chunki (18.2) shart
bajariladi.
92-chizmada tasvirlangan y = f (x) funksiya
X nuqtada uzluksiz emas, chunki Jim Ay Ф 0.





92-chizma.
1-misol. y = x² funksiyani ixtiyoriy x nuqtada uzluksizligini ko’rsating. Yechish. Bu funksiya butun sonlar o’qida aniqlangan. Ay ni tuzamiz: f(x) = x²; f(x₀) = x₀²; ^{f (x}0 +^Ax) = ^(x0 + ^Ax)2;
Ay = f (x₀ + Ax) - f (x₀) = (x₀ + Ax)² - x2 = x^ + 2x₀Ax + Ax² - x2 = 2x₀Ax + Ax².
Demak, lim Ay = lim (2xAx + Ax² )= 0 va y = x² funksiyani ixtiyoriy x„
Ax >0 Ax^A ⁰ ' J J J ⁰
nuqtada uzluksiz.
Shunday qilib, y = x² funksiya aniqlanish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz ekan. 2-misol. y = sinx funksiyani ixtiyoriy x> nuqtada uzluksizligini ko’rsating.
Yechish. f (x) = sin x

Л У/ . A X У/ X • / . A X • ~ • ^X0 +Ax - x0 x0 +Ax + x0

Ay = j (x₀ + Ax) - j (x₀) = sin(x₀ + Ax) - sin x₀ = 2sin ——- cos——- 0


„ . Ax ( .Ax A
= 2sin—cosl x„ ч I,
2 I ⁰ 2 J
.. ^Ax
Ax >0 ' Ax >0 2


Ax


<• A <• „ • Ax ( , Ax A . Ax( .Ax A _л
lim Ay = lim 2sin — cosl x„ ч I = 2 lim sin— lim cosl x„ 4 I = 0,
Ax >0 Ax >0 2 I ⁰ 2 J Ax >0 2 Ax >0 I ⁰ 2 J


2 J ^A" >0


chunki lim sin— = 0 .
Ax >0 2


Har bir elementar funksiya uchun
to’g’riligiga iqror bo’lamiz.
18.1-teorema. Asosiy elementar
uzluksizdir.


shu tariqa mulohaza yuritib quyidagi teoremaning


funksiyalar o’zlari aniqlangan barcha nuqtalarda


Bir tomonlama limit tushunchasidan foydalanib uzluksizlikni quyidagicha ta‘riflash mumkin.

3. 
   ta‘rif. Funksiyaning x₀ nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari mavjud va o’zaro teng
   

bo’lsa, y = f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.


Shunday qilib f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun u shu nuqtada aniqlangan


va f (x₀ - 0) = f (x₀ + 0) = f (x₀) shart bajarilishi lozim ekan.


Yana 1-ta‘rifga qaytib uni lim f (x) = f (lim x) ko’rinishda yozamiz. Bundan ko’rinib
x> x0 x>x0


turibdiki x₀ nuqtada funksiya uzluksiz bo’lsa funksiyaning shu nuqtadagi limitini topishda limit


ishorasini funksiya belgidan ichkariga kiritish mumkin ekan.


1
- - у
x >0


3-misol. lim^ⁿ⁽l^{+ x)} = lim — €n(1 + x) = lim €n(1 + x)^x = €n lim(1 + x)
x>0 Y x>0 V ^{V 7} x >0 ^{V 7} x >0^{V 7
x}>⁰ x ^x>0 x ^x>^{0 x}>⁰


= £ne =1.


Bu yerda 'n x funksiyani х=е nuqtada uzluksizligidan foydalanib limitni funksiya ishorasi ■'n ning ichkarisiga kiritdik.

3. 
   ta‘rif. (a; b) intervalning barcha nuqtalarida uzluksiz f (x) funksiya shu intervalda uzluksiz deb ataladi.
   

Agar funksiya x₀ nuqtada aniqlangan bo’lib lim f(x) = f(x₀) bo’lsa y = f(x) funksiya x> x0 +0
x= x₀ nuqtada o’ngdan uzluksiz deyiladi.
Agar funksiya x= x₀ nuqtada aniqlangan bo’lib lim f(x) = f(x₀) bo’lsa y = f(x)
x> x0-0
funksiya x= x₀ nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi.

3. 
   ta‘rif. y = f (x) funksiya (a; b) intervalda uzluksiz bo’lib х=а nuqtada o’ngdan va x=b nuqtada chapdan uzluksiz bo’lsa, u [a; b] kesmada uzluksiz deb ataladi.
   

5-va 6-ta’riflarga hamda 18.1 teoremaga asoslanib y = a^x, y = sinx, y = cosx funksiyalar
butun sonlar o’qida, y = £og_ax funksiya (0; +y = Jx funksiya [0; +y = — funksiya (-да;0)о(0; +да) intervalda uzluksiz ekanligini ta‘kidlab o’tamiz.


x


Shuningdek ko’phad butun sonlar o’qida, kasr-ratsional funksiya x ning kasr maxrajini nolga aylantirmaydigan barcha qiymatlarida uzluksiz ekanini eslatib o’tamiz.
Teorema. Agar fix) va g(x) funktsiyalar x₀ nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda ularning


. / \ . .. f(x) . ...
algebraik yig indisi, ko paytmasi va g(x₀)^ 0 bo lganda bo linmasi ham shu x₀ nuqtada


uzluksiz bo’ladi.
Bu teoremaning isboti funksiya limitining xossalariga asoslangan.
Endi murakkab funksiyaning uzluksizligiga oid teorema bilan tanishamiz.
Nuqtada uzluksiz funksiya xossalarini ifodalovchi teorema bilan tanishamiz.
Teorema. Agar u = (p(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz, y = f (u) funksiya u₀ = (p(x₀) nuqtada uzluksiz funksiya bo’lsa, u holda y = f [io(x)] murakkab funksiya ham x₀ nuqtada uzluksiz bo’ladi.
Isboti. lim f [^(x)] = f[^(x₀)] ekanligini ko’rsatamiz. u = (p(x) funksiyaning x₀ nuqtada


^x > ^x0


uzluksizligidan lim (p(x) = (p(x₀) = u₀ ga ega bo’lamiz, ya‘ni x ^ x₀ да u ^ u_Q. f (u)


^{x x x}0


funksiyaning shu nuqtada uzluksizligini hisobga olsak
^{lim f} k(^x)] =^{lim f (u)}=^{f (u}0⁾=^f k( ^x0^)].


^{f (}


x^x0 u ^u0


Shunday qilib ikkita uzluksiz f (u) va (p(x) funksiyalardan tashkil topgan y = ^f k( ^x)]
funksiya ham uzluksiz bo’lar ekan. Masalan, y = £n(4 - x²) murakkab funksiya х ning 4 - x² > 0
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida, ya‘ni (- 2; 2) intervalda uzluksiz.
Asosiy elementlar va murakkab funksiyani uzluksizligi haqidagi teoremalarga tayanib
elementar funksiyaning uzluksizligi haqidagi qo’yidagi teoremaga ega bo’lamiz.