Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti "oliy matematika" kafedrasi

Ikkinchi ajoyib limit


n


> sonli ketma-ketlikni qaraymiz, bunda и-natural son.


(. . 1 lⁿ
Teorema. Umumiy hadi x_n =11 + — I bo Igan ketma-ketlik n > / da 2 bilan 3 orasida l nJ


yotadigan limitga ega.


Isboti. Nyuton binomi formulasi


n n n n-W n(n - 1) n-21.2 n(n - 1)(n - 2) n-31.3
(a + b) = aⁿ + -a^{n 1}b + — a^{n 2}b + — — a^{n 3}b +... +
^v ’ 1 1 • 2 1 • 2 • 3
! ^{n(n- 1)(n-2)}...^[n-(n-1)^_n


1 • 2 • 3 •... • n


dan foydalanib ketma-ketlikni x_w va x_w+1 hadlarini quyidagi ko’rinishda yozamiz:


, 1 lⁿ _л n 1 n(n -1)
1 + I = 1 + • + ^v ’
nJ 1 n


x 2 3
1l ^{n(n - 1)(n - 2)} < 1 l
I I • • • I
n J 1 •2 • 3 l n J


1-2 • 3


1 • 2


1 • 2 • 3 •... • n


+ ^n(n-1)(»^-2)..i^n-(n-¹⁾]m■ = 1 +1₊_L<1 -1V-L|1 -1V -21₊. +
n J 1 • 21 n J 1 • 2 • 3 l n Jl n J


n


1 Y 1 Yi 2 A Y n -1
+ 11 - II 1 I...I 1
1 • 2 • 3...n l n Jl n J l


Y 1 Y⁺¹ . , 1 Y
^xn+1 = 1^{1 +} I =¹⁺¹⁺7"d¹
l n +1J 1 • 2l


1 l , 1 h 1 1Y 2 \ _t
I + 1 1 II 1 I +... +
n +1J 1 • 2 • 3l n +1 Jl n +1J


1


n


1 Y 1 1Y 2 A ( n -1A 1 ( 1 Y, 2 A <
+ 1 1 II 1 I...I 1 I + 1 1 II 1 - I...I 1
1 • 2• 3...nl n +1 Jl n +1J l n +1J L 2• 3...(n +1) l n +1Д n +1 J l n +1


bilan ni taqqoslasak, had x> haddan bitta musbat qo’shiluvchiga ortiqligini
к _л k
ko ramiz. 1 > 1 - (k = 1,2,3...,n-1) bo lgani uchun uchinchi haddan boshlab dagi
n +1 n
har bir qo’shiluvchi dagi unga mos qo’shiluvchidan katta. Demak, istalgan n uchun > va


umumiy hadi


Y 11^n
Xn =I^{1 +} I l n J


bo’lgan ketma-ketlik monoton o’suvchi.

Endi berilgan ketma-ketlikni chegaralanganligini ko’rsatamiz. Istalgan £=1,2,3,... uchun

1 - — < 1 ekanini hisobga olib (17.4) formuladan n


^Xn =|¹ + ¹
l n


" , 1 1 . 1
<1 + 1 ■ I ■ ... +
1•2 1-2•3


1-2 • 3 •... • n


tengsizlikni hosil qilamiz.


So’ngra —¹— < -¹, ¹ < -¹
1 • 2 • 3 2² b 2 • 3 • 4 2³


1 1
1 • 2• 3•...• n ^< 2^n-1


ekanligini ta‘kidlab tengsizlikni


( 1 ^ ( 111
x„ =I 1 + - I <1+ I 1 + - + — + —
ⁿ l n J l 2 2² 2³


1
+ ... ■ - + ...
2^n-1


ko’rinishda


^yozamiz. Qa^vsg^a oHngm ^yig’in^di WrineW M : ^{va maxraji} ^= i boTg»


geometrik


progressiyaning hadlari yig’indisini ifodalanganligi uchun cheksiz kamayuvchi


geometrik


. . . . a progressiyaning hadlari yig indisini topish formulasi S = ga asosan

• 
  1 ^ⁿ 1
  

x„ =I1 ■ - I <1 + = 1 ■ 2 = 3

• 
  ^nJ 1 -¹
  

2


tengsizlikka ega bo’lamiz. Ketma-ketlik monoton o’suvchi bo’lganligi sababli uning birinchi hadi


C 1 ' • , „
X = I 1 + j I = 2 uning qolgan barcha hadlaridan kichik bo ladi.


Demak, barcha n uchun 2 < 11 + — | < 3 o’rinli, ya‘ni umumiy hadi ^xn =|1 ■ Я bo’lgan
l nJ l nJ


ketma-ketlik monoton o’suvchi va chegaralangan. Shu sababli u monoton chegaralangan ketma- ketlikning limiti mavjudligi haqidagi 16.1-teoremaga ko’ra chekli limitga ega. Bu limitni е harfi bilan belgilaymiz, ya‘ni


.. a . 1Y
lim I 1 + — I = e .
n^m\ n I


е-irratsional son. Keyinroq uni istalgan darajada aniqlik bilan hisoblash usuli ko’rsatiladi. е = 2,7182818284...


C 1 ^. .. . , .
Teorema. I 1 ■ I funksiya х > / da е songa teng limitga ega: l хJ


< 1Y _z
lim I 1 + — I = e (17.5). ^х ^Ч х J

Isboti. 1) х > / deylik. U holda 1>1 1 n x n + 1 ’ n < x < n +1; .1.1. 1 + ->1 + -> 1 + bo’ladi. Agar х > I/, u holda n x 1 n + 1 1 L 1 Y > I 1 + I к n + 1 ) n > / va	lim n>/	Z 1 \n+1	> lim I х >+/ к	1+1T x )	> lim I 1 + - n>/1 n	1 ' +1,	^n I y^oki
		1 +^11
		к n)
( 1^л	a	1 Y	( 1Y	> lim I n>/	' 1 xn + 1		1T^1
lim 11 + - ^n>>\ n ,	111+' ( 1	- I > lim n } х >+/ Y .	11+-1 к x)		1 +—г I I . n +1) ^1 1Y	к^1^+	^n)
e ■ 1 > lim I х>+/'1	<^+ x	I > e ■ 1	bundan	lim I х >+/'к	^1 + - I = е x )	kelib chiqadi

2) х > / deylik. Yangi Z=-(x+1) yoki х=-(/+1) o’zgaruvchini kiritamiz. t > I/ da х > —/ va Shunday

lim ^(1+1 I^x = lim ^(1 ^1 Y^+1) = lim Cl Г^+1) = ^х>^-/к x) ^t >^+Y t +1) ^t >^+Yt +1) r (t+1 , 1Y , (, J Y 1 ^ t = lim | | = lim | 1 + - | = lim | 1 + - || 1 + - | = е ■ 1 = e. t>+<»l t ) t>+/'к t) t>+/к t / к t) .... .. (. 1Y . • • •. .. ... .. qilib, lim |1 + —| = е ekanini isbotladik. Bu limit ikkinchi ajoyib limit deb х>±/ I x )

yuritiladi.
Agar bu tenglikda — = a deb faraz qilinsa, u holda х >/ da a > 0 (а Ф 0) va х


lim (1 + a)a = е
a>0


tenglikni hosil qilamiz. Bu ikkinchi ajoyib limitning yana bir ko’rinishi.


(.. 1 Y^x. . . . . - ™ . ..
у =I 1 + — | funksiyaning grafigi 89-chizmada tasvirlangan. к x)

Chizmadan ko’inib turibdiki bu funksiya (-

1,0) intervalda aniqlanmagan, ya‘ni 1 + —< 0,
1 x +1
chunki 1 + = va x +1 > 0, x < 0.
xx
Izoh. Asosi е bo’lgan y = e^x
ko’ursatkichli funksiya eksponental funksiya deb
ataladi. Bu funksiya mexanikada(tebranishlar
nazariyasida),





89-chizma.
elektrotexnikada va radiotexnikada, radioximiyada va hokazolarda turli hodisalarni o’rganishda katta rol o’ynaydi.
Izoh. Asosi е = 2,7182818284...sondan iborat logarifmlar natural logarifmlar yoki Neper


logarifmlari deb ataladi va £og_ex o’rniga £nx deb yoziladi. Bir asosdan ikkinchi asosga o’tish


£og b .
formulasi £og_ab = dan foydalanib o nli va natural logarifmlar orasida bog lanish o rnatish
^£og_c^a
mumkin:
£nx 1
£gx = = £nx = 0,434294 £nx yoki £nx = £n10 £gx = 2,302585£gx .
£n10 £n10 , <5 6


n+8


n


8


n


8


14-misol. lim
n^w


f = e.


Y . 3 Y
15-misol. lim I 1 + — I
^x^”1 x J


topilsin.


Yechish. x=3t desak, x ^w da t ^w va


z 3 z _n^3t z _lVz _lVz 1Y
lim 11 + ³| = lim I1 + A] = lim I1 + ¹|I1 +¹||1 + ¹ I
^x >'₄ xj ^4 tj ^4 tM t )\ tj


Y . 1YY. Y . 1Y,. Y . 1Y 3
= lim I 1 + - I lim I 1 + - I lim I 1+ - I = e ■ e ■ e = e bo ladi.
t^w I t J t^w I t J t^w I t J


(x + 4^v"’ (x +1 + 3 ,. Y 3 Y^(x+1)+1
16-misol. lim I I = lim I I = lim I1 +
^x^° I x + 1 J ^x^“ I x + 1 J ^x^“ I x + 1 J


₍

3 Y^y+1 < 3 Y^y < 3 Y¹
1 ч—I = lim |1 ч—I ■ lim |1 ч—I = e ■! = e³.
y y ^” y y^w y

Ikkinchi ajoyib limit Г ko’rinishdagi aniqmaslik ekanini ta‘kidlab o’tamiz.