|
д • i г 2x + 3 ■ , •
6-misol. lim — ni toping.
Yechish. lim(3x +1) = 3 • 2 +1 = 7 ^ 0 . Shuning uchun: x^2
2x + 3 lim(2x + 3) 2 • 2 + 3 7 1
lim = -^2 = = — = 1.
->’3x +1 lim(3x +1) 3 • 2 +1 7
x^2
7-misol. lim X + * ni toping. x >3 x — 3
Yechish. lim(x — 3) = 3 — 3 = 0 bo’lgani uchun 17.3-teoremani qo’llab bo’lmaydi.
x^3
Suratning limiti lim(x +1) = 3 +1 = 4 Ф 0 bo’lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini x^3
. . .. X — 3 H":x — 3) 3 — 3 0 n
topamiz: lim = —^3 = =—= 0.
x"3 x +1 lim (x +1) 3 +1 4
x^3
Bundan lim X + * = kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz x x 3 x — 3
katta funksiya bo’ladi.
Teorema. Agar a nuqtaning biror atrofiga tegishli barcha x lar uchun y=f(x) > 0 va lim f (x) = b (b-chekli son) bo’lsa, u holda b > 0 bo’ladi.
x^a
Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya‘ni lim f (x) = b bo’lib b<0 bo’lsin. U holda |Дх)-
x^a
b\> \b|>0 bo’lishi ravshan. Oxirgi tengsizlik f(x)-b ayirmaning nolga intilmasligini, ya‘ni b son f(x) funksiyaning х ^ a dagi limiti emasligini ko’rsatadi. Bu teoremaning shartiga zid, binobarin b<0 degan faraz shu ziddiyatga olib keldi. Demak, f(x)> 0 bo’lsa lim f (x) > 0 bo’lar ekan.
x^a
Shunga o’xshash limitga ega f (x) < 0 funksiya uchun lim f (x) < 0 bo’lishini isbotlash
x^a
mumkin.
Boshqacha aytganda nomanfiy funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti manfiy son bo’laolmas ekan va nomusbat funksiya limitga ega bo’lsa uning limiti musbat son bo’laolmas ekan.
Teorema. Agar х ^ a da limitga ega f1(x) va f2(x) funksiyaning mos qiymatlari
uchun f (x) > f2(x) tengsizlik bajarilsa, u holda lim f (x) > lim f (x) bo’ladi.
x ^a x^ a
Isboti. Shartga ko’ra f1(x) > f2(x), bundan f1(x) -f2(x) > 0. Oldingi teoremaga binoan lim [ f (x) - f2(x) ] > 0 yoki lim f (x) - lim f2(x) > 0. Bundan lim f (x) > lim f2(x) tengsizlik kelib
x ^a x^ a x ^a x^ a x ^a
chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. Bu teoremaga ko’ra tengsizlikda limitga utish mumkin ekan.
Teorema (oraliq funksiyaning limiti haqida). Agar u(x), v(x) va z(x) funksiyalarning mos qiymatlari uchun u(x)< v(x)<z(x) tengsizliklar bajarilsa va lim u(x)= lim z(x)=b bo’lsa, u holda
x ^a x ^a
lim v(x)=b bo’ladi.
x ^a
Isboti. Shartga ko’ra lim u(x)=b va lim z(x)=b, demak istalgan E >0 son uchun a nuqtaning x^ a x ^a
81 -atrofi mavjudki, undagi barcha х lar uchun | u(x) -b |< s tengsizlik bajariladi. Shunga o’xshash shu E >0 son uchun a ning 82 -atrofi mavjud bo’lib undagi barcha х lar uchun | z(x) -b |< s tengsizlik bajariladi. Agar 8 orqali 81 va 82 sonlarning kichigini belgilasak a nuqtaning 8 -atrofidagi barcha х lar uchun | u(x) -b |< s va | z(x) -b |< s tengsizlik bajariladi. Bular
— E < u(x) — b < E va — E < z(x) — b < E (17.1) tengsizliklarga teng kuchli.
Endi teorema shartidagi u(x) < v(x) < z(x) tengsizliklarni unga teng kuchli u(x) - b < v(x)- b < z(x) - b tengsizliklar bilan almashtiramiz (barchasidan bir xil b son ayirildi).
Bunga (17.1) tengsizliklarni qo’llasak -s < u(x) -b < v(x)-b< z(x) -b < s yoki bundan -s<v(x)-b < s tengsizlikka ega bo’lamiz. Shunday qilib a nuqtaning 8 -atrofidagi barcha х lar uchun - s <v(x)-b < s tengsizlik o’rinli ekan.
Bu lim v(x)=b ekanini bildiradi.
x ^a
Bu teoremani hazillashib «Ikki militsioner haqidagi teorema» deb atashadi. Nima uchun
shunday deb atalishini o’ylab ko’rishni o’quvchiga havola etamiz.
misol. lim sinx = 0 isbotlansin.
x>0
Yechish. Radiusi 1 ga teng aylanani qaraymiz.
87-chizmadan: x>0 bo’lsa = sin x; АС= sin x, АВ =x
ОА
(markaziy burchak o’zi tiralgan yoy bilan o’lchanadi), AC<АВ
yoki sin x ekani ayon bo’ladi. x<0 bo’lganda | sin x |<|x|
bo’lishi ravshan.
Shunday qilib x>0 uchun 0< sin x va x<0
87-chizma.
uchun 0<|sinx |<|x| tengsizliklarga ega bo’ldik. lim 0 = limx=0 ekanligini hisobga olsak 17.6-
x>0 x>0
teoremaga binoan lim sin x = 0 ekanligi kelib chiqadi.
x>0
misol. lim sin — = 0 isbotlansin.
x>0 2
< Isin x| ekani ravshan. lim 0 = limlsinx|=0 bo’lgani uchun 17.6-
1 1 x >0 x >0 1
x
Yechish. 0 < sin —
2
x
x>0 2
teoremaga binoan lim sin — = 0 yoki lim sin — = 0 kelib chiqadi.
x>0 2 x>0 2
x>0
misol. lim cosx = 1 ekanligi isbotlansin. x >0
Yechish. 2s i hX = 1 - co x
2
_ . Э X
yoki cos x = 1 - 2sm2 — ekanligini e tiborga
olsak
lim cosx = lim 11-2sin2 — I = 1-2limsin2 — = 1 -2• 02 = 1 hosil bo’ladi.
x>0 x >0 I 2 J x>0 2
Birinchi ajoyib limit
s"ix funksiya faqat x=0 nuqtada aniqlanmagan, chunki bu nuqtada kasrning surati ham, x
mahraji ham 0 ga aylanib uni o’zi 0 ko’rinishga ega bo’ladi. Shu funksiyaning x > 0 dagi
limitini topamiz. Bu limit birinchi ajoyib limit deb ataladi.
Teorema. sin x funksiya x > 0 da 1 ga teng limitga ega. x
Isboti. Radiusi 1 ga teng aylana olib АОВ markaziy burchakni x bilan belgilaymiz va u
0, X I intervalda yotadi deb faraz qilamiz (87-chizma).
Chizmadan ko’rinib turibdiki,
А АОВ yuzi sektor yuzi< A DOB yuzi (17.2).
Biroq, A AOB yuzi = ^ OA ■ OB ■ sin x = ■ 1 • 1sin x = sin x (uchburchakning yuzi ikki tomoni va
ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining yarmiga teng).
AOB sektor yuzi = 1 OB2 ■ AB = 1 ■ 12 ■ х =1 x, 2 2 2
A DOB yuzi = — OB ■ BD = — OB ■^- = — ■ 1 ■ tgx = — tg x.
2 2 12 2
Shu sababli (17.2) tengsizliklar ~sinx<^x <^tgx ko’rinishni yoki ga qisqartirilgandan so’ng
. . . „ .К Я 1 тт
sinx<x < tgx korinishni oladi. Buning barcha hadlarini smx>0 ga bolamiz I 0< x <— I. U
holda 1 < —— < —1— yoki 1 > s*n x > cos x sin x cos x x
tengsizliklarga ega bo’lamiz. Bu tengsizliklar x>0 deb faraz qilinib chiqarildi.
sin(~x) = sinx, cos(-x) = cosx ekanligini e‘tiborga olib, bu tengsizliklar x<0 bo’lganda ham (- x) x
to’g’ri degan xulosaga kelamiz. Ammo lim1 = 1 va lim cosx = 1. x >0 x >0
Demak, s° x funksiya shunday ikki funksiya orasidaki, ularning ikkalasi ham bir xil 1 ga x
teng limitga intiladi. Shuning uchun oraliq funksiyaning limiti haqidagi 16.6-teoremaga binoan
oraliqdagi s° x funksiya ham ana shu 1 limitga intiladi, ya‘ni
x
sin x |
x
lim
sin x
У = —
x
funksiyaning grafigi 88-chizmada tasvirlangan.
sin x
12-misol. lim
13-misol. lim
x >0
tgx = lim cos x
x x >0
sin mx
= lim
x x >
sinax
= lim
sin Rx x>0
= lim
x x >0
sin mx
m
mx
sin a x
sin x 1
= lim
x cos x " >
sin x lim
x x >0
1 ■ 1 = 1.
cos x 1
sin mx _
=m lim =m-1=m (m-o zgarmas son).
x > mx
sinax
lim
x >0 x a
.. sin Bx R '
lim H
x x > x
11-misol. lim
x
1
88-chizma.
Do'stlaringiz bilan baham: |
