11 – m a ‘ r u z a o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli differensial tenglamalar sistemasi

11 – M A ‘ R U Z A
O’ZGARMAS KOEFFISIYENTLI CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR SISTEMASI

Ushbu
(1)

differensial tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin, bunda a_{i j} koeffisiyentlar o’zgarmas sonlar, x argument, u₁(x) , u₂(x) ,…,u_n(x) izlanayotgan funksiyalar.

(1) sistema o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasi deyiladi. Uning xususiy yechimini quyidagi ko’rinishda izlaymiz:
u₁ = ₁ye^kx , u₂ = ₂ye^kx ,…, u_n = _nye^kx (2)
₁ye^kx , ₂ye^kx ,…, _nye^kx funksiyalar (1) tenglamalar sistemasini qanoatlantiradigan o’zgarmas ₁ , ₂ ,…, _n va k sonlarni aniqlash talab qilinadi. Ularni (1) sistemaga qo’yib ushbularni xosil qilamiz:



ye^kx ga qiskartiramiz. Barcha hadlarini bir tomonga o’tkazib va ₁ , ₂ , …,_n oldidagi koeffisiyentlarni to’plab, quyidagi tenglamalar sistemasini xosil qilamiz:
(3)

₁, ₂, … , _n , va k larni (3) sistemani qanoatlantiradigan qilib tanlab olamiz. Bu tenglama ₁, ₂, … , _n , ga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidir. (3) sistemaning determinantini tuzamiz:

(4)
Agar k shunday bo’lsaki, 0 bo’lsa, u xolda (3) sistema faqat
₁= ₂= … = _n= 0
yechimga ega bo’ladi va (2)-dan
u₁ = u₂ =…= u_n = 0
(1) sistemaning yechimi kelib chiqadi. Bunday yechimlar bizni qiziktirmaydi. (1) tenglamalar sistemasining noldan farqli (2) ko’rinishdagi yechimlarni k ning shunday qiymatlarida xosil qilamizki, bu qiymatlarda (4) determinant nolga aylanadi. Demak, k ni aniqlash uchun quyidagi tenglamaga kelamiz:
(5)
Bu tenglama (1) cistemaning xarkteristik tenglamasi deyiladi, uning ildizlari xarakteristik tenglamaning ildizlari deyiladi. Bir necha xolni ko’rib chiqamiz.
1) Xarakteristik tenglamaning ildizlari haqiqiy va har xil.
Xarakteristik tenglamaning ildizlarini k₁ , k₂ ,…, k_n bilan belgilaymiz. Har bir k_i ildiz uchun (3) sistemani yozamiz va

koeffisiyentlarni aniqlaymiz. Shunday qilib, quyidagilarni xosil qilamiz:
k₁ ildiz uchun (1) sistemaning yechimi
u₁⁽¹⁾=₁⁽¹⁾ u₂⁽¹⁾=₂⁽¹⁾ …, u_n⁽¹⁾=_n⁽¹⁾
k₂ ildiz uchun (1) sistemaning yechimi
u₁⁽²⁾=₁⁽²⁾ u₂⁽²⁾=₂⁽²⁾ …, u_n⁽²⁾=_n⁽²⁾
. . . . . . . . . . . . . . . … .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
k_n ildiz uchun (1) sistemaning yechimi
u₁⁽ⁿ⁾=₁⁽ⁿ⁾ u₂⁽ⁿ⁾=₂⁽ⁿ⁾ …, u_n⁽ⁿ⁾=_n⁽ⁿ⁾
Bevosita (1) tenglamaga qo’yish yo’li bilan

funksiyalar sistemasi ham , bunda S₁, S₂, …,S_n ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlar, (1) differensial tenglamalar sistemasining yechimi bo’lishiga ishonch xosil qilish mumkin. Bu (1) sistemaning umumiy yechimidir. O’zgarmas miqdorlarning shunday qiymatlarini topish mumkinki, bu qiymatlarda yechimning berilgan boshlang’ich
u₁ =u₁₀ , u₂ =u₂₀ , … , u_n =u_n0 ;
shartlarni qanoatlantirishini ko’rsatish mumkin, bunda x₀, u₁₀, u₂₀, … , u_n0 oldindan ma’lum sonlar.