Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti "oliy matematika" kafedrasi

Teorema. Barcha elementar funksiyalar o’zlarining aniqlanish sohalarida uzluksizdirlar.
4-misol. lim 4^{sin x} topilsin.


— x^—
2


Yechish. 4^{s xi} murakkab funksiya x = — nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun
. — . sin— ,
lim 4^sinx = 4 ² = 4¹ = 4 bo’ladi.


— x^—
2

5-misol. lim — topilsin.

^x >⁰ x


Yechish. Bu yerda ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. a^x -1 = t almashtirish olamiz. U


holda a' = 1 +1, x = log_a (1 +1) bo’lib x — 0 da t — 0 va


t


1


1


lim — = lim \ r = lim = - = —-— = log a = Ina bo’ladi.
^x > ^{x t} > t°ga⁽¹ +^t) - -I _tog (1 ₊1) lim log, (1 +1); ^loga^e
t ^{aV 7} t—0


e^x -1
Xususiy holda lim = Ine = 1
^x>⁰ x


kelib chiqadi, ya‘ni x > 0 da e^x -1 ~ х.


6-misol.


lim ^{(1 +} '^¹ topilsin
^x>⁰ x


Yechish. Bu yerda ■^■ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz.


(1 + x)^p -1 = y almashtirish


olamiz. U holda (1 + x)^p = 1 + y, yoki buni e asosga ko’ra logarifmlasak pln(1 + x) = ln(1 + y)


bo’ladi. x > 0 da y > 0. Demak,


.. (1 + x) -1 y pln(1 + x) y ln(1 + x) y
lim = lim — = lim -—- -f-—г = p lim —- ■ lim —-f-—г = p -1 -1 = p.
^x>⁰ x ^x>⁰ x ^x>⁰ x ln(1 + y) ^x >'■' x y>⁰ ln(1 + y)
Shunday qilib, lim ⁺ 3- =p formulaga ega bo’ldik.
^x >⁰ x
Uzluksizlik tushunchasidan foydalanilsa limitni hisoblash ancha osonlashadi, ya‘ni uzluksiz funksiyaning biror nuqtadagi limitini hisoblash uning shu nuqtadagi qiymatini hisoblashga keltiriladi.
Endi asosiy elementar funksiyalarning aniqlanish sohalarining chetlaridagi limitlari hamda ajoyib limitlar jadvalini keltiramiz.
1) x = a nuqtada uzluksiz y = f (x) funksiya uchun lim f (x) = f (a)bo’ladi.
x—a


2) lim e^x = +w, lim e^x = 0.
x—+w x—-w


3) a > 1 bo’lganda lim a^x = +w, lim a^x = 0 bo’ladi.
x—+w x—-w


4) 0 < a < 1 bo’lganda lim a^x = 0, lim a^x = +w bo’ladi.
x—+w x—-w


5) a > 0 bo’lganda lim x^a = +w, a < 0 bo’lganda lim x^a = 0 bo’ladi;
x—+w x—+w


6) lim Inx = +w, lim Inx = -w x—+w x>+0


6') a > 1 bo’lganda lim log_ax = +w, lim log_ax = -w
x—+w x>+0

7)

0 < a < 1 bo’lganda lim £og_ax =


/ , lim £og_ax = +w.


8)


lim tgx = +w, л
x> 0
2


lim tgx = —w л
x>—+ 0
2


9)


<• , л
lim arctgx = —, x>+w 2


lim arctgx = - x>-w


л


2


sin x

10. 
    lim = 1.
    

^x>⁰ x
₄ ( 1 ^^x

10. 
    lim 11 + — I = e.
    

x>±wl x )
a^x -1

10. 
    lim = Ina .
    

>" x


12') lim ^{e 1} = 1.
^x >⁰ x


г ^{(1 + x) P — 1}

10. 
    lim- = p .
    

^x >⁰ x

10. 
    lim ^tOg‘ * ⁺ 9 = -!..
    

^x>⁰ x Ina


14') lim "' ' = 1.
^x >⁰ x


Kesmada uzluksiz funksiyalarning xossalari
Kesmada uzluksiz funksiyalarning ayrim xossalarini isbotsiz keltiramiz.
Teorema. Agar f (x) funksiya [a; й] kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda u bu kesmada o’zining eng kichik va eng katta qiymatiga erishadi, ya‘ni [a; й] kesmada shunday x, x₂ nuqtalar mavjud bo’lib [a; й] kesmadagi barcha х lar uchun f (x, )> f (x) va ^{f (x}2 Ь f (x) tengsizliklar to’g’ri


bo’ladi (94-chizma).
^m = f (x₂⁾ v^a M = ^f(x1⁾ y = f (x) funksiyaning
qiymatlaridir.
Izoh. Teoremaning shartidagi kesmani
interval yoki yarim intervalga almashtirish mumkin
emas.
Masalan, (0; 1) intervalda uzluksiz y = x funksiya
bu intervalda o’zining eng kichik va eng katta
qiymatlarini hech biriga erisha olmaydi.


[a; й] kesmadagi eng kichik va eng katta

94-chizma.

Natija. [a; й] kesmada uzluksiz f (x) funksiya shu kesmada chegaralangandir.
Haqiqatan, f (x) funksiya [a; й] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini mos
ravishda M va m orqali belgilasak [a; й] kesmadagi barcha x lar uchun m < f (x) < M


tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Agar С orqali \m\ va |M| dan kattasini belgilasak |f (x)| < C


tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlik f (x) funksiya [a; й] kesmada chegaralanganligini ko’rsatadi.


Teorema. Agar f (x) funksiya [a; й]
kesmada uzluksiz va kesmaning oxirida turli
ishorali qiymatlarni qabul qilsa, u holda
(a; й) intervalda kamida bitta nuqta mavjud
bo’lib, bu nuqtada funksiyaning qiymati nolga
teng bo’ladi.





95-chizma.


95-chizmada f (a) > 0, f (b) < 0 va x₁,x₂, x₃ nuqtalarda funksiyaning grafigi 0x o’qni kesib o’tadi, demak, f (x, ) = 0, f (x₂ ) = 0, f (x₃ ) = 0.
Teorema. f (x) funksiya [a; й] kesmada uzluksiz bo’lib m va M uning shu kesmadagi eng


kichik va eng katta qiymati bo’lsin, u holda funksiya shu kesmada m bilan M orasidagi barcha


oraliq qiymatlarini qabul qiladi, ya‘ni m < A < M shartni qanoatlantiradigan istalgan A son uchun [a; й] kesmada kamida bittax = cnuqta mavjud bo’lib, f (c) = A tenglik to’g’ri bo’ladi(96-hizma).


Izoh. Funksiya [a; й] kesmaning birorta д J⁷


nuqtasida uzilishga ega bo’lganda 18.6-
teoremalar bajarilmasligi mumkin.
f (x) = — funksiya
x


f (-1) = -1 < 0, f (1) = 1 > 0 bajarilsada
kesmaning hech bir nuqtasida nolga


va 18.7-
Masalan,
uchun
у ^[-1;^1]





96-chizma.


aylanmaydi. Buning sababi f (x) = — funksiya [-1; 1] kesmadagi x = 0 nuqtada uzilishga ega
x


(91-chizma).