Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti "oliy matematika" kafedrasi

5-misol. 

x

y

sin



 bo’lsa, 

 

n

y

 topilsin. 

Yechish. 











 





2

sin

cos

'



x

x

y

, 















































 



2

2

cos

2

2

cos

2

cos

'

'









x

x

x

y

, 

...................................................................... 

 



















2

sin



n

x

y

n

.  Shunday qilib, 





 



















2

sin

sin



n

x

x

n

. 

Shu formulaga asoslanib sinx  funksiyaning 102-hosilasini topamiz: 





 













x

x

x

x

x

x

sin

sin

50

sin

51

sin

2

102

sin

sin

102



















































. 

Demak, 





 

x

x

sin

sin

102





. 

6-misol. 

x

y

cos



 bo’lsa, 

 

n

y

 topilsin. 

Yuqoridagi singari 





 



















2

cos

cos



n

x

x

n

 

ekanini ko’rsatish mumkin. 

Ba‘zi-bir elementar funksiyalarning istalgan tartibli hosilalari uchun ham 

formulalar shunga o’xshash chiqariladi.  

O’quvchiga  

,

,

,

,

kx

x

k

kx

e

y

a

y

x

y

e

y









  

nx

y





 funksiyalarning n-tartibli 

hosilalari uchun formulalarni o’zi topishini maslahat beramiz. 

n-tartibli  hosilalar  uchun   





 

 

 

n

n

n

v

u

v

u







, 

 

 

 

n

n

cu

cu



    tengliklarning 

to’g’riligini isbotlash qiyin emas. 

Shuningdek 

 

 

 









 

n

n

n

n

n

uv

v

u

n

n

v

u

n

v

u

uv



















...

'

'

2

1

)

1

(

'

1

2

1

     (3.1) 

formulaning to’g’ri ekanligini ko’rsatish mumkin. 

Bu  yerdagi   

)

(

),

(

x

v

v

x

u

u





  funksiyalar  n-tartibgacha  hosilaga  ega  bo’lgan 

funksiyalar. (3.1) formula Leybnis formulasi deb ataladi. 

4. Oshkormas funksiyaning yuqori tartibli hosilasi. 

х  ning    funksiyasi      у     

0

)

,

(



y

x

F

    tenglama  yordamida  oshkormas  shaklda 

berilgan bo’lsin. Bu funksiyaning 

'

y

 hosilasini topish usuli bilan misolda tanishgan 

edik. Uning yuqori tartibli hosilalarini topish usuli bilan ham misolda tanishamiz. 

7-misol. 

0

1

2

2

2

2







b

y

a

x

    tenglama  bilan  oshkormas  holda  berilgan  у  

funksiyaning ikkinchi hosilasini toping. 

Yechish. Oldin 

'

y

 ni topamiz. у ni  х  ning funksiyasi ekanligini hisobga olib 

berilgan tenglamani differensiallasak   

0

'

2

2

2

2







b

y

y

a

x

 hosil bo’di. Bundan  

2

2

'

a

x

b

y

y







;  

2

2

'

a

x

b

y

y







; 

y

x

a

b

y







2

2

'

 va 

2

2

2

2

2

''

y

y

x

y

x

a

b

y

x

a

b

y

































 

''

y

 ga topilgan  

'

y

 ni qo’yamiz:    

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

''

y

a

x

b

y

a

a

b

y

y

x

a

b

x

y

a

b

y



















. 

Ammo   

1

2

2

2

2





b

y

a

x

 tenglamadan  

2

2

2

2

2

2

b

a

y

a

x

b





  kelib chiqishini hisobga 

olsak    

3

2

2

2

2

2

''

y

a

b

a

a

b

y







   yoki   

3

2

4

''

y

a

b

y





 

ga    ega     bo’lamiz. 

V

IV

III

y

y

y

,

,

  va hakozo hosilalarni ham shunga o’xshash topish mumkin. 

5. Parametrik berilgan funksiyaning yuqori tartibli hosilalari 

х ning funksiyasi   у  

 

 











t

y

t

x





,

 

tenglamalar bilan parametrik berilgan bo’lsin, bunda 

 

t

x





 funksiya 

 

x

t





  

teskari funksiyaga ega. U holda

'

x

y

 hosila 









t

t

х

x

y

y

                        (5.1) 

formula  yordamida  topilishi  isbotlangan  edi.  Ikkinchi  hosila 



xx

y

  ni  topish 

uchun  (22.7)  tenglikni 

x

t

  ning  funksiyasi  ekanini  hisobga  olib  х    bo’yicha 

differensiallaymiz. 















 

























































 





t

t

tt

t

t

tt

x

t

t

t

x

x

xx

x

x

x

y

x

y

t

x

y

y

y

1

2

 

Shunday qilib  

3











 



















t

tt

t

t

tt

xx

x

x

y

x

y

y

.    

y



,

V

IV

y

y ,

  va hakozo hosilalarni ham shunga o’xshash topish mumkin. 

8-misol. 













const

a

t

a

y

t

a

x

.

sin

,

cos

   

parametrik  tenglamalari  yordamida  berilgan    х    ning  funksiyasi    у  ning 

ikkinchi hosilasini toping. 

Yechish.  









ctgt

t

a

t

a

t

a

t

a

x

y

y

t

t

x





















sin

cos

cos

sin

, 





t

a

t

a

t

x

t

t

ctgt

y

t

t

x

t

xx

3

2

2

sin

1

)

cos

(

1

sin

1

1

sin

1





























. 

6. Yuqori tartibli differensiallar. 

Differensiallanuvchi 

)

(x

f

y



 funksiyani qaraymiz. Bu funksiyani differensiali   

dx

x

f

dy

)

(

'



    yana    х  ning  funksiyasi  bo’ladi.  Shuning  uchun  bu  funksiyaning 

differensiali haqida gapirish mumkin. 

4-ta„rif.  Funksiyaning  differensialidan  olingan  differensial  shu  funksiyaning 

ikkinchi  tartibli  differensiali  yoki  ikkinchi  differensiali  deyiladi    va 

y

d

2

  kabi 

belgilanadi.     

Shunday qilib,   

 

y

d

dy

d

2



. 

 5-ta„rif.  Funksiyaning  ikkinchi  tartibli  differensialdan  olingan  differensial 

shu  funksiyaning  uchinchi  tartibli  differensiali  yoki  uchinchi  differensiali 

deyiladi  va 

y

d

3

 kabi belgilanadi.      

Shunday qilib, 

 

y

d

y

d

d

3

2



. 

6-ta„rif.  Funksiyaning  (n-1)-  tartibli  differensialdan  olingan  differensial    shu 

funksiyaning  n-tartibli  differensiali  yoki  n-differensiali  deyiladi    va 

y

d

n

  kabi 

belgilanadi.  

Shunday qilib, 





y

d

y

d

d

n

n





1

. 

Yuqori  tartibli  differensiallarni  hosilalar  orqali  ifodalaymiz. 

const

x

dx







 

ekanini hisobga olib ikkinchi tartibli differensial uchun  

    

 



 



2

2

2

''

)

(

''

''

'

'

dx

y

dx

y

dxdx

y

dx

dx

y

dx

y

d

dy

d

y

d















   ga ega bo’lamiz. 

Shunday qilib,    

2

2

'

' dx

y

y

d



. 

Bu yerda 

2

2

)

(dx

dx



, chunki argument differensiali darajasini yozishda qavsni 

tashlab yozish qabul qilingan.  

Shunga o’xshash uchinchi tartibli differensial uchun  

  

 



3

3

2

2

2

2

3

)

(

dx

y

dx

y

dx

dx

y

dx

dx

y

dx

y

d

y

d

d

y

d

























 

tenglikka 

ega 

bo’lamiz.    Demak,       

3

3

'

'

' dx

y

y

d



.    Bu  jarayonni  davom  ettirib,    n-tartibli 

differensial uchun 

 

n

n

n

dx

y

y

d



 formulani hosil qilamiz, bunda 

 

n

n

dx

dx



. 

Yuqori  tartibli  differensiallarni  hisoblash  uchun  chiqarilgan  formulalardan 

istalgan tartibli hosilani differensiallarning nisbati sifatida tasvirlovchi 

dx

dy

y



'

,  

2

2

''

dx

y

d

y



, 

3

3

''

'

dx

y

d

y



,  ... ,  

 

n

n

n

dx

y

d

y



 

tengliklarga ega bo’lamiz. 

 Shu paytgacha 

)

(x

f

y



 munosabatda х erkli o’zgaruvchi deb qaradik. Endi  х 

oraliq argument bo’lgan holni qaraymiz, ya‘ni  

)

(x

f

y



  murakkab funksiyaga ega 

bo’laylik,  bunda

 

t

x





.  Murakkab  funksiyaning  hosilasini  topish  qoidasiga 

ko’ra











t

x

t

x

y

y

   bo’lgani uchun 

dx

y

dx

y

dt

x

y

dt

y

dy

x

t

x

t



















'

. 

 Shunday  qilib 

)

(x

f

y



  funksiyaning  differensiali    х    erkli  o’garuvchi 

bo’ganda  qanday  ko’rinishga  ega  bo’lgan  bo’lsa  u  x  oraliq  argument  ya‘ni  biror 

yangi  o’zgaruvchining  funksiyasi  bo’lganda  ham  xuddi  o’sha  ko’rinishga  ega 

bo’lar  ekan.  Birinchi  tartibli  differensialning  bu  xossasi  differensial  shaklning 

invariantligi deb ataladi. 

9-misol.  

t

y

sin



 funksiyaning differensialini toping.  

Yechish. 

x

t



  desak 

x

y

sin



 murakab funksiyaga ega bo’lamiz. U holda  





t

d

t

xdx

dx

x

dx

y

dy

cos

cos

sin













. 

 Murakkab  funksiyaning  ikkinchi  tartibli  differensiali  invariantlik  xossasiga 

ega emasligini, ya‘ni   

2

2

'

' dx

y

y

d



  ekanini ko’rsatamiz. 

Qaralayotgan holda  

 

 

const

dt

t

t

d

dx







'





   ekanini hisobga olib, ikkinchi 

differensial uchun  

x

d

y

dx

y

dx

d

y

dx

dy

dx

y

d

dy

d

y

d

2

2

2

'

'

'

)

(

'

'

)

'

(

)

(













 

tenglikka ega bo’lamiz.  

Buni  х  erkli o’zgaruvchi bo’lgan holdagi   

2

2

'

' dx

y

y

d



 bilan taqqoslab ularni 

tashqi  ko’rinishlari  o’xshash  emasligini  ko’ramiz.  Boshqacha  aytganda  ikkinchi 

tartibli differensial invariantlik xossasiga ega emas ekan. Shunga  o’xshash yuqori 

tartibli  differensiallar  ham  invariantlik  xossasiga  ega  bo’lmasligini  ko’rsatish 

mumkin.  

Invariantlik xossasi faqat birinchi tartibli differensiallar uchun o’rinli.