Qarshi muhandislik-iqtisodiyot instituti "oliy matematika" kafedrasi

10-misol. 

tgx

y



  funksiyaning  birinchi  va  ikkinchi  tartibli  differensiallarini 

toping, х-erkli o’zgaruvchi. 

Yechish. 

 

dx

x

dx

tgx

dx

y

dy











2

cos

1

'

, 









dx

x

x

dx

x

x

dx

x

dx

y

y

d

3

2

3

2

2

2

2

cos

sin

2

cos

cos

2

cos

''





















. 

11-misol. 

t

e

x

x

y





,

sin

  murakkab  funksiyaning  birinchi  va  ikkinchi  tartibli 

differensiallarini toping. 

Yechish. 

xdx

dx

y

dy

cos

'





, 

.

cos

sin

'

'

'

)

'

(

2

2

2

2

2

x

xd

xdx

x

d

y

dx

y

dx

y

d

y

d













 

7. Ikkinchi hosilaning mexanik ma„nosi. 

  To’g’ri chiziq bo’ylab harakat qiluvchi jismning o’tgan  

s

  yo’li bilan 

t

 vaqt 

orasidagi bog’lanish  

)

(t

f

y



  formula bilan  ifodalansin. 

Hosilaning  mexanik  ma‘nosiga  binoan  jismning  oniy  tezligi  yo’ldan  vaqt 

bo’yicha olingan hosilaga teng, ya‘ni 

dt

ds

t

s

t

v





)

(

'

)

(

. 

 Biror 

t

  momentda  jismning  tezligi 

v

  ga  teng  bo’lsin.  Agar  harakat  tekis 

bo’lmasa,  u  holda   

t

  paytdan  keyin  o’tgan   

t



  vaqt  oralig’ida  tezlik 

v



ga 

o’zgaradi.  

t

v

a

rt

o







'

 

nisbat 

t



 vaqtdagi o‟rtacha tezlanish deyiladi.  

O’rtacha  tezlanishning  vaqt  orttirmasi 

t



  nolga  intilgandagi    limiti  berilgan 

momentdagi yoki oniy tezlanish deb ataladi:  

dt

dv

t

v

im

a

t













0



 

Demak, oniy tezlanish tezlikdan vaqt bo’yicha olingan hosilaga teng. Ammo 

dt

ds

v



  bo’lgani  uchun     

2

2

dt

s

d

dt

ds

dt

d

a

















  ,      ya‘ni  to‟g‟ri  chiziqli  harakat 

tezlanishi  yo‟ldan  vaqt  bo‟yicha  olingan  ikkinchi  hosilaga  teng. 

)

(t

f

s



  ga 

asosan:  

)

(

'

' t

f

a



. 

Bu ikkinchi tartibli hosilaning mexanik ma„nosidir. 

 

8. Urinma va normal tenglamalari. 

Tenglamasi 

)

(x

f

y



  bo’lgan  egri  chiziqni  qaraymiz,  bunda 

)

(x

f

 

differensiallanuvchi  funksiya.  Bu  egri  chiziqda 





0

0

0

, у

x

M

  nuqtani  olamiz  va  bu 

nuqtada  egri  chiziqqa  urinma  o’tkazamiz.  O’tkazilgan  urinma  0у  o’qqa  parallel 

emas deb faraz qilib, uning tenglamasini yozamiz. Berilgan 

0

M

 nuqtadan o’tuvchi 

to’g’ri chiziq tenglamasiga ko’ra urinmaning tenglamasi  





0

0

х

х

k

y

y







 

ko’rinishga  ega  bo’ladi.  Hosilaning  geometrik  ma‘nosiga  binoan 

)

(

'

0

x

f

k



 

bo’lgani uchun urinma tenglamasi                   





0

0

0

)

(

'

х

х

x

f

y

y







 

ko’rinishni oladi. 

 7-ta„rif.  Urinish  nuqtasidan  o’tadigan  va  urinmaga  perpendikulyar  to’g’ri 

chiziq  egri chiziqqa berilgan nuqtada normal deb ataladi(106-chizma). 

 Ta‘rifdan  qaralayotgan  nuqtada  egri  chiziq  urinmaga  ega  bo’lmasa  u 

normalga  ham  ega  bo’lmasligi  kelib  chiqadi. 

)

(

' x

f

  hosila  mavjud  bo’lmaganda 

egri  chiziqqa  uning 





)

(

;

x

f

x

M

  nuqtasida  0у  o’qqa  parallel  bo’lmagan  urinma 

o’tkazib bo’lmaydi.  

 

106-chizma. 

 Endi normalni tenglamasini yozamiz. 

Ikki  to’g’ri  chiziqning  perpendikulyarlik  shartiga  ko’ra  normalning  burchak 

koeffisientini 

n

k

 urinmaning burchak koeffisienti 

)

(

'

0

x

f

k



 bilan  

)

(

'

1

1

0

x

f

k

k

n









 

tenglik orqali bog’langan. 

Demak, 

)

(x

f

y



 egri chiziqqa 





0

0

0

, у

x

M

 nuqtasidagi normal tenglamasi  





0

0

0

)

(

'

1

х

х

x

f

y

y









 

ko’rinishga ega. 

      12-misol. 

4

x

y



 egri chiziqqa uning 

 

1

;

1

0

M

 nuqtasida o’tkazilgan urinma 

va normalning tenglamalari yozilsin. 

     Yechish. 

3

4

'

x

y



  bo’lgani  uchun  urinmaning  burchak  koeffisienti 

4

1

4

|'

3

1









x

y

 ga teng. Demak, urinma tenglamasi:   





1

4

1







х

y

  yoki  

3

4





x

y

. 

Normal tenglamasi:  





1

4

1

1









х

y

  yoki  

4

5

4

1







x

y

. 

 

Adabiyotlar 

 

1. 

Т.Азларов,  Ҳ.Мансуров.  Математик  анализ.  1-қисм.  Тошкент 

«Ўқитувчи», 1986. 

2.  А.А.Гусак. Высшая математика. 1-том. Минск, 2001. 

3.  Д.В.Клетеник.  Сборник  задач  по  аналитической  геометрии.  Москва, 

«Наука”, 1986. 

4.  В.П.Минорский.  Сборник  задач  по  высшей  математике.  Москва, 

«Наука”, 2000. 

5.  Н.С.Пискунов.  Дифференциал  ва  интеграл  ҳисоб.  1-том,  Тошкент, 

«Ўқитувчи», 1972.